R－L－Cの並列回路

質問

交流回路全体を流れる電流を
i(t) = Im・sin(wt)
とするとき、抵抗R、コイルのリアクタンスL、コンデンサーを並列に接続したときに回路全体を流れる電圧ｖ(t)をもとめたいのですが

僕は合成抵抗をNとして
N = (1/R + wc + 1/wL)
だから
v(t) = i(t) / N
より
v(t) = (1/R + wc + 1/wL) ・（ Im・sin(wt)）
としたのですが・・・・・これでは違う気がするのです。
オームの法則で
V =　I・R
これは成り立ちますが交流回路で
V(t) = i(t)・R
はできませんよね・・・・。
このような場合、電圧v(t)を求めるにはどうすればいいのでしょうか？

回答No.6

noname#101087 · ベストアンサー

>tanはいったいどこから・・・・・

[合成公式]
　　a*sin(s)+b*cos(s) = C*sin(s+t)
　　ただし、C = SQRT(a^2+b^2),　　t = atan(b/c)
から、です。

>aの値はどうすれば・・・・・・

　　Im*sin(wt) = ...... = Vm*|Y|*sin(wt+a+b)
から、
　　Im = Vm*|Y|
　　a+b = 0　　つまり、a = -b = -atan(B/G)

>最終的なかたちは
>v(t) = Vm*sin(wt + a) = (Im/|Y|)*sin(wt+a)
>ということでいいのでしょうか・・・？

そのとおり。

回答No.5

noname#101087

>[蛇足]
>　　Im = Vm*|Y|　→　Vm = |Y|*Im
>　　a = -b = -atan(B/G)
>になりそうです。

余計な書き込みして、ミスッてました。
　　Im = Vm*|Y|　→　Vm = Im/|Y|

回答No.4

noname#101087

>やってみました。
>Im*sin(wt) = iR(t) + iL(t) + iC(t)
>= Vm{(1/R)sin(wt+a)+(1/wL)sin(wt+a-π/2) + wCsin(wt+a+π/2)}
>= Vm{(1/R)sin(wt+a)-(1/wL)cos(wt+a) + wCcos(wt+a)}

このあとが… ?

まず、
　　1/R = G
　　wC-1/wL = B
と略記(簡単化)。

　　SQRT(G^2 + B^2) = |Y|
とおけば、
　　Im*sin(wt) = Vm*|Y|*{(G/|Y|)*sin(wt+a) + (B/|Y|)*cos(wt+a)}
　　= Vm*|Y|*sin(wt+a+b)
　ただし、b = atan(B/G)

…てな調子です。
フォローしてみてください。

--------------------
[蛇足]
　　Im = Vm*|Y|　→　Vm = |Y|*Im
　　a = -b = -atan(B/G)
になりそうです。

補足

ええっと・・・・
Im*sin(wt) = Vm*|Y|*{(G/|Y|)*sin(wt+a) + (B/|Y|)*cos(wt+a)}
までは理解できましたがtanはいったいどこから・・・・・
ただし、b = atan(B/G)

…てな調子です。
フォローしてみてください。

--------------------
[蛇足]
　　Im = Vm*|Y|　→　Vm = |Y|*Im
　　a = -b = -atan(B/G)
になりそうです。
ここが理解できないです・・・・・・。

aの値はどうすれば・・・・・・
最終的なかたちは
v(t) = Vm*sin(wt + a)
= (Im/|Y|)*sin(wt+a)
ということでいいのでしょうか・・・？

回答No.3

noname#101087

>交流回路全体を流れる電流を
>i(t) = Im・sin(wt)
>とするとき、抵抗R、コイルのリアクタンスL、コンデンサーを並列に接続したときに回路全体を流れる電圧ｖ(t)をもとめたいのですが .......

並列回路なので、それを流れる電流は L, C, R の各電流を合計したものです。
各電流はみな位相が違うので、
その合計値
　　i(t) = Im*sin(wt)
から各電流を勘定する必要がありますね。
複素数が禁じ手だと、ちょいと面倒です。

(1) R の電流 iR(t) = IR*sin(wt+a) とすれば、L の電流 iL(t) = IL*sin(wt+a-π/2)、C の電流 iC(t) = IC*sin(wt+a+π/2) 。
回路の両端間電圧の絶対値を Vm とすると、
　　IR = Vm/R
　　IL = Vm/wL
　　IR = Vm*wC

(3) Im*sin(wt) = iR(t)+iL(t)+iC(t) の関係から a を求める。

(4)その結果から v(t) = R*iR(t) が得られる。

..... などが一例です。

補足

やってみました。
Im*sin(wt)
= iR(t) + iL(t) + iC(t)
= Vm{(1/R)sin(wt+a)+(1/wL)sin(wt+a-π/2) + wCsin(wt+a+π/2)}
= Vm{(1/R)sin(wt+a)-(1/wL)cos(wt+a) + wCcos(wt+a)}
= Vm{(2/R)sin(2wt+2a)*(wC-1/wL)*sin(0)}←三角関数の和積変換
= 0
よってa = 0
これより
v(t) = R*iR(t)から
v(t) = R*IR*sin(wt+a)
= R*(Vm/R)*sin(wt)
= Vmsin(wt)
という感じでよろしいのでしょうか？
う～ん・・・・・Im*sin(wt) = iR(t)+iL(t)+iC(t) の関係から a を求めるところが自信ない・・・。

回答No.2

ruto

合成インピーダンスをZとすればその逆数アドミッタンスはYとすれば、
V＝I・|Z|＝I/|Y|なので
V(t)＝i(t)/√{1/R^2+（1/ωL－ωC)^2}
でもとめられると思います。

回答No.1

anachrockt

交流回路でも
V(t) = i(t)・R
は成立します．キッパリ！

> 僕は合成抵抗をNとして
> N = (1/R + wc + 1/wL)
が間違ってます．
交流では位相も考えないといけないから
合成抵抗ではなく，合成アドミッタンスをY(jw)として
Y(jw) = 1/R + jwc + 1/(jwL)
でしょう．
sinで計算するのは面倒だから，
I(jw) = Im・exp(jw)
として，
V(jw) = I(jw) / Y(jw)
で，sinだから，オイラーの法則
exp(jw) = cos(wt) + jsin(wt)
からV(jw)の虚数部を求めれば，それが解です．

補足

解凍ありがとうございます。
しかし、複素数はまだ学習していないのでよくわかりません。
複素数を用いない方向ではとけないでしょうか？