メビウスの輪と複素数は関係ないでしょうか

質問

表題通りなのですが、メビウスの輪では回転とか捻れといっても感覚できないもののようなので複素数のようなものの助けを借りないと理解できないのかなと思いました。

回答No.4

grothendieck · ベストアンサー

メビウスの輪と複素数(リーマン面)は深い関係があります。メビウスの輪は一周しただけでは元に戻らず、2周して始めて元に戻ります。
　f(z)=z^(1/2)
のリーマン面を考えてみましょう。このリーマン面は原点の周りを一周しただけでは元に戻らず2周して始めて元に戻ります。これはメビウスの帯と同じではありませんか。しかしメビウスの輪とリーマン面は重大な違いがあります。それはメビウスの輪は向き付け不可能だが、リーマン面は向き付け可能なことです。

お礼

御教示ありがとうございます。私にとってメビウスの輪も複素数も理解にほど遠いという点が似ているに過ぎないのだと思いますが、ご教示の内容を反芻しながら勉強を続けたいと思いました。

回答No.3

noname#43759

トポロジー（位相幾何学）の分野で、メビウスの輪が扱われています。その分野は複素数とは直接関係がなかったような気がします。
その分野には、メビウスの展開図というものがあります。参考サイトで見てください。

講談社のブルーバックスに「トポロジーの発想」という本があるので、そちらを参考にしてもらえば、理解できると思います。

参考URL：

http://www2.neweb.ne.jp/wc/morikawa/sya.html

お礼

御教示ありがとうございました。いろいろ指針を頂きありがとうございます。

回答No.2

kabaokaba

＃いつも思うんだけども・・・思いつきだけではなく
＃まず先に調べたり考えたりしたらどうなんだろうか・・・
＃たぶん理系の大学生だと思うから
＃それなりに専門用語を使わせてもらいます．

>メビウスの輪を３次元で考えてはいけないというご教示を他の方からいただいているので感覚できない

ここの一連の流れだったら，
そういうことはどなたも仰ってはずないです．
メビウスの輪は「三次元空間R^3」に埋め込み可能な「向き付けできない」二次元多様体です．ただ，その性質を考えるには，R^4のような大きなところから見る（ハンドルボディやらクラインの壷との関連を考える）方がいろいろ面白いということでしょう．

これは何もメビウスだけではなく，ある対象を考えるときにもっと大きな視点をもって考える必要があるということの一例でしょう（有名な例だとフェルマの定理なんかは初等的な範囲ではできず，もっと大きな枠組みが必要だということです）．

メビウスの一大特徴である「表裏がない」というのはあくまでも「一般向けに分かりやすく表現」したものにすぎません．

メビウスが透明でペラペラのものでできてると想像して，一点をとって，それを原点だと思って，座標軸をつけてください．xとｙの向きをきちんと決めて座標軸に矢印をつけてください．つぎにその原点を座標ごと少しだけ横に動かしてください．少しだけですので，座標の矢印の方向も変わりません．

この少しだけの移動を何回も繰り返せば，うまく移動させることでぐるっと「一回り」して，最初にとった点と移動してきた点を重ねることができます．このとき，座標の矢印の向きはどうなってますか？
一回一回の少しだけの移動では矢印の向きは変わってないにも関わらず，一周してきたら向きが変わってるのです．

これがメビウスがもつ性質です（正確には多様体が向き付けできないということの言い直し）．
ぶっちゃけ複素数は直接は関係ありません．
この性質をもって「ふつうの輪」と区別されます．

「区別する」というのは「何をもって」区別するのかという「基準」が本質です．「基準」が変われば同じだったものが違うものになったり，逆になったりすることを理解しましょう．輪とメビウスはともに「円」を「広げた」ものなのでその意味では同じものですが，広げ方が違うので違うものでもあるのです.

紙で作ったものは，たとえ普通の「輪」であっても，数学的には「錯覚」です．メビウスに限りません．ただしこういうのは「モデル」という類のもので，理解や発展には必須ですし有用なものです．要は，初等幾何の問題において「図より明らか」なんてやったら証明になってないといわれるますが，図を描いて定理を発見するのは有用というようなものです．

お礼

ご指摘ありがとうございます。勉強したいと思っております。

回答No.1

BookerL

＞　メビウスの輪では回転とか捻れといっても感覚できないもの

　実際に紙テープで作ってみれば手にとって実感できると思うのですが、そういうこととは違うのでしょうか。

＞　複素数のようなものの助けを借りないと理解できないのかな

　「複素数を使うと理解できそうだ」と思われるのはどうしてでしょうか。

補足

メビウスの輪を３次元で考えてはいけないというご教示を他の方からいただいているので感覚できない（ねじれのない輪と区別できない）というのが正しいのかなと思いました。つまり紙で作った輪を見て理解できたと思うのは錯覚ではないかと思ったのです。複素数と言ったのは回転とかねじれが複素数と関係があるように思うことと感覚できないものを感覚できるように変えてくれる力が複素数にはあるように思うからです（量子現象などのように）