標本分散の合併について

質問

標本分散の合併についてわからないことがございます。

------------------------------------------------------
標本Aの分散：Σ{(Xi - Xmean)^2} / (n-1)
標本Bの分散：Σ{(Yi - Ymean)^2} / (n-1)

合併標本分散（A+B）
Σ{(Yi - Ymean)^2} + Σ{(Xi - Xmean)^2} / (n-1) + (n-1)

Xmean(Ymean)は標本A(B)の標本平均です。
分散は未知だが等しいことがわかっている。
------------------------------------------------------
なぜ、AとBの分母同士、分子同士足し合わすのでしょうか？
そのようなことをしてもよいのでしょうか？

なぜ、
Σ{(Xi - Xmean)^2} / (n-1) + Σ{(Yi - Ymean)^2} / (n-1)
では駄目なのでしょうか？

教えていただけましたら幸いです。
以上、宜しくお願いいたします。

回答No.2

age_momo

#1です。私も少し勘違いをしていたみたいなので訂正です。
これは標本の合併というより、平均の差の検定をt検定(等分散)で
行う際の母分散の推定ですね。平均が等しいと勘違いしていました。

標本Aと標本Bがそれぞれあって分散が等しいがその値が
分かっていない場合の母分散の推定値の計算式は

[Σ{(Xi - Xmean)^2} + Σ{(Yi - Ymean)^2}] / {(n-1) + (m-1)}

であっています。私も完全に理解できているわけではありませんが、
それぞれの平均をそれぞれの標本で求めているので自由度は
(n-1) + (m-1)になります。不偏分散は自由度で割りますから
計算式としては上の式になります。
感覚としては平均値が2つあるので2減るといったところでしょうか。
通常は平均値が1つなので自由度が標本数から1減ります。

極端な話、標本数が1で値がXなら平均X、分散0/0で定義できずが
単一の標本での不偏分散による母分散の推定です。
(標本分散なら0/1=0と計算できてしまうところが標本分散の弱さでしょう)
同様にA,Bともに標本数1ずつなら分子0になりますから分母も0に
なるはずです。その意味で標本数から2引くのは納得できる話です。

補足

ご返答ありがとうございました。

でもなぜ、下記式にはならないのでしょうか？
Σ{(Xi - Xmean)^2} / (n-1) + Σ{(Yi - Ymean)^2} / (n-1)

分母同士・分子同士足し合わせる理由がわかりません。
意味合いもかわってくるような気がしないでもないのですが・・・。