マイナス同符号乗算の証明

質問

質問がございます。
マイナス同符号の乗算をした時にプラスになる説明が、
できません。

わかりやすい説明の方法を教えていただけないでしょうか？

宜しくお願い致します。

回答No.7

pascal3141 · ベストアンサー

No.5です。説明が少しわかりにくかったかも知れませんが、-3は原点から-3まで引いたやじるしを考えます。すると(-3)×(-2)はその矢印を、２倍の長さにして（つまり、原点から-6までのばして）、逆方向（原点に対して180°回転）にすると言うことです。よって、(-3)×(-2)＝6を矢印が指すことになります。あくまでも原点が矢印のスタートになります。

お礼

再度のご回答ありがとうございます。

理解致しました。

ご丁寧にありがとうございました。

回答No.6

okmisato

小生も、マイナス同符号の掛け算がどうしてプラスになるのか、何十年たった現在でも本能的に違和感があります。数学的定義・定理・公理などから自明の理という事ですが、子供のころにこんな勝手な解釈をしてみました。
例(1)　三人の人に、それぞれ＋２０円を借りています。
例(2)　三人の人に、それぞれ＋２０円を貸しています。
例(3)　三人の人に、それぞれ－２０円を借りています。
例(4)　三人の人に、それぞれ－２０円を貸しています。

答えは、いずれも６０円ですが、これを自分の小遣い帖に記入するつもりで考えて、借り・貸しであらわさずにプラス・マイナスで書こうとすれば、計算式がおのずと理解できるのではないでしょうか。
但し、マイナス２０円は借金として考える事になります。

お礼

ご回答ありがとうございます。

>例(3)　三人の人に、それぞれ－２０円を借りています。
20円貸しているという認識でしょうか。

>例(4)　三人の人に、それぞれ－２０円を貸しています。
20円借りているという認識でしょうか。

すぐに理解できずに申し訳ございません。

回答No.5

pascal3141

私は、以下のように教えています。
(-3)×2は、原点から-3まで矢印を書いて、それを同じ方向に２倍のばすということなので、(-3)×2＝-6。同じようにして、(-3)×(-2)は、原点から-3まで矢印を書いて、それを逆方向に２倍のばすということなので、、(-3)×(-2)＝6。こういうやり方で教えていくと理解してくれました。

お礼

ご回答ありがとうございます。

>原点から-3まで矢印を書いて、それを逆方向に２倍のばすと

感覚的に+3になってしまいます。
不思議です。

回答No.4

naozou

質問者の方にとって、どんな回答が「わかりやすい」のかが分からないのですが、
数直線やお金の計算ではない方法で説明してみます。
たぶん、分かりにくいと思いますが、雰囲気として、(-1) * (-1) = 1
じゃないといかんのだなぁ、もしくは、(-1) * (-1) = 1 となってしまいそうだ、
と思っていただければ結構です。

(1) あなたは正の数のたし算、引き算、掛け算と0しかしらない人だとします。そして、分配法則をまもりながら、1つ大きくしたら0になる数を考えているとします。
つまり m+1=0 となるような数mを想定すると、どんな性質だろうかと考えています。
(分配法則を守る、というのは、正の数の計算にとって分配法則がとてもとても重要だからです。)

(2) m に正の数 a をかける、とはどういうことか考えてみます。
もともとの定義で(m + 1) * a = 0 * a = 0 なので、
分配法則を守ろうとすると、
0 = (m + 1) * a = m * a + a
となります。つまりm に正の数aをかける、という計算は
分配法則を守ると、正の数aを足すと0になる数が求まると考えることができるようです。
ついでに、m に 0 をかけると 0 になることもわかりました。(a = 0 とする)

(3) m 同士の掛け算、ということはどういうことか考えてみます。
m + 1 = 0 でしたので、両辺に m をかけてみます。分配法則を使うと
m * (m + 1) = m * m + m = 0
両辺に 1 を足してみます。
m * m + m + 1 = 1
m + 1 = 0 でしたので、
m * m = 1
となります。
つまり、分配法則を守ろうとすると、
m 同士の掛け算は、掛けて1になる、としないと具合がわるそうです。

m をどういう記号で書いても構いませんが、-1と書くのが一番便利なのです。

お礼

ご回答ありがとうございます。

「わかりやすい」など抽象的な表現を使用してしまい、
申し訳ございませんでした。

コインや実世界にある物を使用したりした説明方法が
見つからず困っていました。

回答No.3

zk43

xに対して、x+y=y+x=0を満たすyを-xと書く。
これが-xの定義である。
つまり、x+(-x)=(-x)+x=0
これは、-xの方から見ると、xは-xのマイナスである。
つまり、-(-x)=x

(-x){(-y)+y}=(-x)・0=0
分配法則を認めると、
(-x){(-y)+y}=(-x)(-y)+(-x)y
この２通りの計算方法により、
(-x)(-y)+(-x)y=0
ここで、両辺に-(-x)yを加えると、
(-x)(-y)=-(-x)y
上で見たように、-(-x)=xだから、
(-x)(-y)=xy
となる。

なお、ある数に0を掛けると0になるというのは、0とはどんな数に加え
てもその数を変えない数のことなので、0+0=0であり、したがって分配
法則により、
0x=(0+0)x=0x+0x
両辺に-0xを加えると、
0=0x
となる。

以上から、重要な点は、xに対する-xの定義と、0の定義、そして足し算
と掛け算の間の分配法則を公理として認めるということです。

お礼

ご回答ありがとうございます。

質問の表現方法が適切でなかった事をお詫び申し上げます。

「-3*2は借金3を2回したら-6」のような
簡単な説明方法を見つけております。

回答No.2

koko_u_

(-1)×(-1) + (-1) = (-1)×{(-1) + 1} = (-1)×0 = 0

よって (-1)×(-1) = -(-1) = 1

以上で使用されている規則を考えよ。

お礼

ご回答ありがとうございます。

回答No.1

proto

「マイナス ×」などで検索すると、過去の類似質問がもうアホかというほど引っかかります。
過去にはなかなか読み応えのある回答もありますので、目を通されては？

お礼

ありがとうございます。
私の検索キーワードが悪かったようで、
貴殿のキーワードを使用したところ検索できました。

参考にさせていただきます。

ありがとうございました。