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2の倍数または3の倍数である数列の一般項は?
Tacosanの回答
- Tacosan
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0.5 の前は「+」じゃなくて「-」ですけどね. で残りの部分ですが, 以下のように無理すれば記述できます: 互いに素な a, b に対し, 最小公倍数は ab で「1~ab の中でどちらとも素であるもの」が (a-1)(b-1) 個だから, 「1~ab の中で a と b の少なくとも一方の倍数であるもの」は ab - (a-1)(b-1) = a+b-1 個あります. つまり, 求める数列を x(k), k = 1, 2, ... とおくと x(k + a+b-1) = x(k) + ab です. で, ωを 1 の原始 (a+b-1)乗根とすると Σ(k=0~a+b-2) (ω^k)^n は n が a+b-1 の倍数のときのみ a+b-1 で, そうでなければ 0 となります. ということは, まず y(k) = abk / (a+b-1) という数列を作っておいて, x(k) との差分 z(k) を ω で補正すればいいということになります. 例えば a = 2, b = 3 のときは ab = 6, a+b-1 = 4 なので y(k) = 6k/4 = 3k/2, ω = i となります. で, 補正項 z(k) は z(k) = αi^(0k) + βi^(1k) + γi^(2k) + δi^(3k) (当然ですが 0k = 0) に k = 1, 2, 3, 4 を代入して α, β, γ, δ を求めれば見付かります.
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