熱力学でのシリンダーの動きについて

質問

少々長い問題ですが、ごめんなさい。

問題文　鉛直におかれた断面積Sのシリンダーに、圧力P、体積Ｖ、絶対温度Ｔの単原子理想気体が入っている。この状態からピストン（質量はＭで、滑らかに動く）を鉛直下方に距離x.だけ押し下げて静かところ、ピストンは運動を始めた。ただし、x.は底面からピストンまでの高さに比べて十分小さく、容器全体は断熱材でできていて、大気中におかれている。

問ピストンの運動を考える
ピストンがはじめの位置からｘだけ鉛直下方に変位しているとき、ピストンに働いている力Ｆを求めよ。｜x｜≦x.とする。

解答
はじめは力のつりあいで
PS=P.S+Mg……(1)
合力Ｆは下向きが正だから、
F=P.S+Mg-(P+ΔP)S
と続きこれは、単振動ということになり周期、速度の最大値を求める問題へと移行することになります。

そこで、わからないところなんですが、【例題】鉛直に立てたシリンダーの中に温度Ｔでnモルの気体が入れてある。ゆっくりと暖めると気体は膨張し、温度はＴ＋ΔＴになった。気体がした仕事はいくらか。質量Ｍのピストンは滑らかに動き、気体定数をＲ、大気圧をＰ.とする

という問題ではピストンの力のつりあいから、ＰＳ=P.S+Mg……(1)’
と続き、その後の解説で
ピストンの動きはゆっくり暖めたときは、(1)’式からわかるようにピストンは絶えず力のつりあいを保ちながらゆっくりと働く、つまり、(1)’は絶えずなりたい右辺は一定だから、Ｐは一定となり定圧変化が起こる。
と書かれていました。

解答の続きどおりやると-Kxとなって-Kｘだから単振動になるという力学的なことはわかります。
しかし、つりあいながら合力が一定で上の例題のように定圧に動くと思ったのですが、なぜ合力Ｆは一定ではないんでしょうか？
この問題の場合、例題とはどう違うんですか？

どうかよろしくお願いいたします。

回答No.3

htms42 · ベストアンサー

＞ＰＳ＝PS+Mg……(1)’
＞右辺は一定だから、Ｐは一定となり定圧変化が起こる。

左辺は大気圧と断面積の積ですから常に一定です。「右辺が一定だから左辺が一定になった」のではありません。（断面積は共通ですから右辺のSはＳでないといけませんね。）

内部の気体を暖めたとします。PはP'に変わります。
P＜P'ですからＰＳ＜P'Ｓ＋Mgになります。
これで釣り合いが敗れてピストンが上に動きます。体積が増加することで圧力が下がり釣り合いが復活します。
ＰＳ＝PＳ＋Mg　が再び成立します。
加熱をゆっくりやるとこの変化をゆっくり起こすことができます。加熱と同時に体積が変化し始めますから圧力ののこぎりの歯型の変化が起こるわけでもありません。（「ゆっくり」とは温度を上げたときに起こる体積変化が圧力の変化を生じない速さです。急激な加熱をするとピストンの動きがうまくついていくことができなくて圧力の上昇が生じてしまいます。）

ピストンを手で押さえ込んでつりあっている場合
ＰＳ＋Ｆ＝P''Ｓ+Mg
です。ここでの圧力p''はPより大きいです。
ここで手を離します。Ｆ＝０となりますから
ＰＳ＜P''Ｓ＋Ｍｇとなります。このときのP''は押さえ込んだときの深さによって決まってしまっていますから変えることはできません。例題のときのようなPとP'の差をできるだけ小さくするという操作を考えることもできなくなります。
この圧力差でピストンが上に動きますがつりあいの位置で止まらずに上に行き過ぎてしまいます。振動します。

補足

丁寧なご返事ありがとうございます。
とても参考になりました。
ただ、返事が遅れて申し訳ありません。
正直いって忘れてしまいました

おかげさまで順調に進みみました＾＾

回答No.2

noname#57316

【問題】と【例題】に示されている条件の違いを比較します。
【問題】では、xだけピストンを押し下げた後、反動を生じないように静かに（文意が
正しく読み取れませんが）そこで加えた力を取り除くのです。
その後は、ピストンの位置がどこであっても力の不均衡が生じます。

それに対し【例題】では、シリンダー内気体の温度を準静的に上げ、一定に保つのです。
従って、生じる力は保たれたままで取り除かれず、力の不均衡は生じません。
この点が違っていて、結果が異なっているのです。

お礼

そういう条件の違いがあったんですね。
条件の違いがわからずとまどってしまいました
的を射た説明ありがとうございます。
今後ともどうか、よろしくお願いいたします。

回答No.1

eatern27

後半部分で、
>ゆっくりと暖めると気体は膨張し
とありますが、どのくらいゆっくりであれば「ゆっくり」と言えるのでしょうか？(どこかで「ゆっくり」という近似を使うはずですが、どこでどのような近似をしているのでしょうか？)

また、前半の単振動の問題においても、これと同じように「ゆっくり」とする近似をしてもよいでしょうか？

ピストンの運動方程式をたてて考えてみましょう。