高校教科書のベクトル表記について

質問

高校の教科書ではベクトルは（a,b,c）のように
横並びに書いてあるのは深い意味があるのでしょうか。

私は工学系なのですが、大学以降、日本以外でも私の分野では
ベクトル（単なるマトリックスではなくテンソルとしての
ベクトルです）は縦表記でした。
横ベクトルは縦ベクトルの転置としてわざわざ書くのが普通
なので、通常のベクトルを横表記するのはどうしても抵抗が
あります。

つい、そのまま縦表記で私が教えてしまった高校生が、学校で
縦表記で書いたところ、横で書くように注意されたそうなのですが、
数学の分野では何か区別する理由があるのでしょうか。

ご存知の方、お教えいただけたらと思います。
よろしくお願いします。

回答No.7

shure-neko

#6です
補足です。

行列における縦ベクトルと横ベクトルは違うことを一応付け加えておきます。
参考に適当なリンクはっておきますね

参考URL：

http://proofcafe.org/k27c8/math/math/liner_algebraI/page/row_vector_column_vector/

回答No.6

shure-neko

まず先に申し上げておきます。
私は理工系大学の１年生です。（あっ、浪人ではありませんよ。現役です。）
ですから、回答は信用できるものではないかもしれません。
あらかじめご了承ください。
（頑張って勉強していますので、そこらへんの人よりかは知っているはず！・・・と思いたいのですが；）
お力になれればうれしいです！

まず、「高校教科書では横書きだが、何か深い理由があるのか」ということですが、私が知っている限り、また調べた限りではどうやらないようです。ただ、深くない理由ならばあるようですよ（笑）
すでに回答された方の中にあるように、

(1)縦書きだと、教科書の紙面の幅が取られてしまうため、横書きが好まれていること
（というのも、教科書を含む数学書は一般的に冗長さを排除したがる傾向がありますからね）
(2)高校でベクトルを習う以前に学んだ、座標を表わす際の表記法に似ているため、とっつきやすくなるのではないかと考えられ、横書きが好まれていること

の、以上の２点が主な理由のようです。
（絶対のことを知りたいのならば、教科書制作に携わった方に直接聞く他ありませんね）

また、塾の講師がうんぬんかんぬんについてですが、私が思うに、逆にその講師さんが的外れな回答をしている気がしてなりません。厳密な意味ではそうなのでしょうが、そう言ってしまうと大学で学ぶ数学以前の数学は（厳密な意味では）全部間違っている、となってしまうと思うからです。（たとえば実数の四則演算とかです。実数とはどういうものなのか？足し算という演算は？少なくとも私には、高校までにそのような定義を教えてもらった記憶はありませんし、これは大学以上になって代数学で学びます。）
ですから、高校レベルのベクトルに関しては、そこまでの議論の余地はないと思います。
縦書きも横書きも、「今は（高校レベルでは）」どっちも変わらない、ということですね。（本質は大学以上でも変わりませんが）

ちなみに、私が思うに、学校の先生が言っている「空間の定義の意味が変わってくるから」という意味は、たぶん座標軸の設定によって、ベクトルの成分が変わってしまうということを言っているのだと思うので、高校生の記憶があいまいだったのか、先生の発言が本当にそうだったのかは分かりませんが、今回議論している、ベクトルは縦表記と横表記で厳密な意味で何か異なるのか？という命題とは全く関係がないと思います。（全て憶測ですが）

あと、どうやら縦書きのほうがメリットは多いみたいですよ。
たとえば、座標とベクトルの判別のしやすさや、これらの概念の混同の回避などです。
ちょうどいい情報がありますので、詳しくはリンクをご覧ください。（pdfファイルの形式です）
理工系大学では１年次に必修科目として線形代数がほとんどの大学でありますので、スムースに大学の授業に入っていけるように、私個人的な意見としては、高校でも縦書きで教えるべきだと思っています。というのも、線形代数では、数ベクトルの表記、矢線ベクトルの成分表示、ともに縦書きが一般だからです。

ただ、私としても不本意ですが、学校の言うことには表面上でもいいので従ったほうが無難だと思います。
心の中で、（縦もＯＫ、縦もＯＫ）と唱えておけば、ベクトルは絶対に横！という誤解は生じないですからね。
（いやほんとに日本の教育は理にかなっていないというか、お偉いさんは頭が良くなりすぎて初学者の気持ちを忘れてしまっているというか。たとえば関数についてとか、「関係する数」「数の関係」と認識している人が多いのなんの。私の周りの学生さんたちの中にもいまだにそう認識している人がどれほど多いことか・・・。理工系だろ！特に、写像の概念の導入とともにそれが浮き彫りになるというか何というか・・・。「関数」っていう字をやめにして「機能」にすればいいのに！・・・と、愚痴になってしまいましたね；すいません。）
ですから、教えてあげた高校生の方には「別に縦でも横でもいい。先生が縦は間違っているといっても、それは先生のほうが間違っている。大学に行ったら縦書きが標準だから、テストとかの表面的なところだけ横書きで書いとけばいい」と、自信を持って言ってあげてください。ここまできっぱり言えないのなら「本当はどうか知らないけれど、少なくとも高校まではどっちも完全に一緒」とでも付け加えとけばいいでしょう。

それと、これは蛇足なのですが、ベクトルの本質は矢印、すなわち矢線ベクトル（幾何学的ベクトル）であるということですが、これに関しては賛同しかねます。
ベクトルというのは、数という概念と同じくらい抽象的なものですので、それは誤解かと思います。
確かに、ベクトルという概念は、物理の主に古典力学で矢印として導入されたと聞きますけれども、これはただ単に発端というか、アイディアというか、所詮は概念を発見するきっかけになったにすぎず、厳密な意味でのベクトルとは、代数学的な立場からの定義（構造）が最も本質的であると私は思います。（もちろん、マトリックスとテンソルとは区別しているつもりです。）
ちなみに、テンソルを専門にしている、というのはベクトル解析を専門にしている、という意味でしょうか？ベクトル解析は幾何学的ベクトルを主に扱うと、いつだったかどこぞで聞きましたので、もしかしたらそこで勘違いなさっているのかもしれません。
（勘違いしているのが私の可能性もありますので、その時はどうかご容赦くださいませ・・・。というか逆に間違っているかもしれなかったら教えてください。）

以上、できる限り自分なりには論理的に考察したつもりなのですが、お役に立てましたでしょうか？
再度言いますが、まだまだ学力が足りませんので、内容に信憑性は保証しかねますので、ご了承ください。
あと、誤字があったらすいません。フィーリングでカバーよろしくお願いします・・・

参考URL：

http://math.co.jp/uploads/happy2011-02.pdf

回答No.5

kumipapa

#3です。
私は、どちらかと言えば縦とか横とかに、あまりこだわらない派かな？
それもこれも、深く学んでいないせいかも知れませんが。
でも、縦表記と横表記で、「空間の定義が変わる」っていうのは、どうだかなー・・・。行列なんかの列ベクトルと行ベクトルがはっきり違うものだというのは当然のこととして、高校で扱うベクトルなら、列ベクトルで表してもなんら問題は無いような気がしますね。

高校でベクトルを横書きで教えるのは、#3でも書いたように、それまで学習してきた空間座標の（0,0)とか(2,3)というような表記に合わせているんだと思いますけどね・・・。位置ベクトルは座標の表記と同じになって、ベクトルも(a,b)と書くと、直感的に「ｘ方向にa動いて、ｙ方向にb動く矢印なんだ」と分かりやすいとか。違うかな・・・。

回答No.4

BASKETMM

No.2 です。乱暴な表現をして申し訳ございません。ただ、私が《ある種の》という但し書きを付けた置いたことで、ご勘弁下さい。例えば、演算の規則が決まっていることなどです。

矢印が本質と言うことには異存がございません。私は線形代数の専門家ではありませんが、解説書にも、二次元の数ベクトルと平面上のベクトルは同じ物かという議論が書かれています。上記のように、演算規則が決まっていれば、両者は同じものと見られるようです。言い換えると、この条件下で二つの実数の組合せは、矢印と同じ物なのです。

以上は、私の不明確な表現に対する弁明書です。ご質問者の求めておられる点から論点がずれてきたことにも、お詫び申し上げます。私は、単に形式に捕らわれないようにと申し上げたかっただけです。

お礼

再度、ありがとうございます。

私はテンソルを専門に扱っていて、マトリックスとテンソルが完全に同一のものだと考えている学生が少なくないので、ちょっと過敏に反応してしまいました。

本当に単に形式だけの話なら私もBASKETMMさんのお考えに両手を挙げて賛成です。
ありがとうございます。

回答No.3

kumipapa

ご質問の意味というかお気持ちは分かります。私も子供と一緒に数学の問題を解くとき、特に行列の列ベクトルの意味（基底）なんかに踏み込むとどうしてもベクトルを縦表記して教えたくなることがあります。

ただ、数学でも、ベクトルは縦表記と決まっているわけではなく、また、縦でも横でも特別な意味があるわけではないですね。そもそも、ベクトルを縦にしろ横にしろ（要素,要素,・・・)みたいな表記の仕方はあまりしない、というか必要がないので。確かに、線形代数などで行列を扱う場合には、ベクトルは基本的に縦表記なんですが、この場合も便宜上、または行列演算の定義がそうなっているだけの理由でしょう。別に行列の演算定義が絶対真理だというわけではないので、ベクトルを横表記にしたければ、それに合わせて行列演算の定義を合わせて変えれば、何も困る事はないので。勿論、そんなことは誰もしようとしませんが。

一方で、高校生が初めてベクトルというものを習うとき、彼らが持っている知識は、空間座標を横表記で表すことだけですよね。そして、高校で習うベクトルというのは、図形への応用が主です。行列による線形写像も習うけど、ベクトルとか基底という概念は持ち込まない。そんな高校生に対してベクトルを最初に教えるときに、横表記の空間座標に合わせて、位置ベクトルやベクトルも横表記にした方が分かり易いだろうと考えた人がいて、ベクトルは横表記になっているのではないかと思います。これは勝手な推測ですが。

ということで、ベクトルを縦表記にしようと横表記にしようと、それは数学としてはどちらでよい。我々が慣れ親しんだ縦表記が「正しい」わけでも「間違っている」わけでもないし、横表記もそう。質問者さんも高校時代はベクトルを横表記でならった筈で、そのときに横表記だから困ったことも無ければ、大学へ進学されてベクトルが縦表記に変わったときも、特別に混乱したことはないでしょう。
ということは、お子さんが、縦表記の方が分かりやすいというなら縦表記だって良いし、いや、横表記の方がとっつきやすいというのなら、横表記がよろしいのでは。何にせよ、お子さん次第で考えるのが一番よろしいでしょう。
ま、高校の先生には一言言いたくなるでしょうけどね。

「何でいけないか言ってみろ。あんただって、大学では縦表記でも習ったはずだ」ってね。

お礼

ご回答ありがとうございます。

数学が専門でも大学では縦表記なのでしょうか？
それを伺えれば、すこし安心します。（すこしだなんてしつこくてすみません）

質問のところに書けばよかった内容なのですが、実はどこかで
「うちの高校の数学の先生が、塾ではベクトルを縦表記していることついて、表記で意味が変わることも知らないくせにとバカにしていた」　
とか
「空間の定義の意味が変わってくるから、それを知った上でならいいけど」
とかいうことを耳に挟んだことがあります。
どこで聞いたかとか、誰に聞いたか（確か高校の先生の発言の生徒は青山学院だった気がしますが定かではありません）が分からないため、真意を確かめることが出来ないでいます。

ちなみに私は高校のときから縦表記だったので、大学でいきなりというわけではありませんでした。
縦表記を習った際、「教科書では横表記だが、一次変換の写像を行列演算で書く際に整合性がとれていない。ベクトルを横表記するなら行列の演算も定義しなおすべきだ」と聴いた記憶があります。kumipapaさんと同じ意見ですよね。（取り違えていたらごめんなさい）

あとからぐちゃぐちゃ付け加えて申し訳ありません。
やはり、高校の先生の「横で書きなさい」はただ単に「教えたとおり書きなさい」という意味だったと言うことなのでしょうか・・・。

回答No.2

BASKETMM

大切なのは、本質でしょう。
ベクトルとは、数字のある種の組合せでしょう。縦に書こうと、横に書こうと、斜めに書こうと、声に出して言おうとよいではありませんか。

ただ、行列との掛け算などが出てくると、分かりやすい方がよいかも知れませんね。

補足

大切なのは本質なのですが、ベクトルの本質は単なる
数字の組み合わせではありません。
言ってみれば、矢印が本質です。（「大きさと向きのあるもの」です）
数字の組み合わせはベクトルではなく行列（マトリックス）です。

成分表示はある基底ベクトル（横で書いてしまいますが
高校では(1,0）(0,1)が普通ですよね)の係数を並べて書いたもの
ですよね。

どうでもよいことに感じられるかもしれませんが、もしどうでも
良くないのであったら、という可能性が拭えないので、ご専門の
方がいらしたら伺いたいと思い投稿しました。

質問の言葉が足りず申し訳ありません。

回答No.1

kazu12321

噂で聞いたのですが
縦表記にするよりも横表記にした方が
教科書のページ数が少なくなるからだそうで。

補足

早速のご回答ありがとうございます。
本当にそれだけが理由だったら、「学校の先生の言うことは
気にしなくて良い」と言えるのですが、数学の分野では
もしかしたら何か根拠があるのではという危惧があります。