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プランクの放射式
siegmundの回答
- siegmund
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プランクの放射式は, 振動数がν~ν+ dνの間にある放射エネルギー密度I(ν)dνである, というものですね. I(ν)は hbw さんの書かれているように I(ν) =(8πhν^3/c^3)*(1/((e^(hν/kT))-1). です. だから,λ1 から λ2 までなら,ν2 = c/λ2 から ν1 = c/λ1 までで U = ∫{ν2 ~ ν1} I(ν) dν を計算すればよい. ν = c/λ ですから,νとλの大小関係は逆転していますね. それで,積分が ν2 から ν1 までです. さて,指数関数の肩のところを hν/kT = t とおくと,積分が簡単な形に整理できて U = (8π k^4 T^4/c^3 h^3) ∫{t2 ~ t1} t^3/(e^t - 1) dt になります. t2 と t1 は,それぞれ ν2 と ν1 に対応します. t は エネルギー hν をエネルギー kT で割った量ですから 物理的次元のない量ですね. で,∫{t2 ~ t1} t^3/(e^t - 1) dt は残念ながら解析的にはできません. でも,λ1 = 120 (nm) と λ2 = 180 (nm) は決まっているのだから, 温度を決めれば t2 と t1 は決まりますね. つまり,∫{t2 ~ t1} t^3/(e^t - 1) dt は単なる数値を与える積分に過ぎません. 具体的には,T を決めて(つまり t2 と t1 を決めて)数値積分をすればよい. なお,全波長について積分すれば(νがゼロから無限大), t2 = 0,t1 = ∞ で, 定積分は π^4/15 になることが知られています. つまり,定数部分をσに押し込めてしまうと U = σT^4 になっていて, これは Stefan-Boltzmann の法則ですね. 式は間違っていないと思いますが,念のためチェックしてくださいね. タイプミス,なんて可能性もあるので.
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