図形問題(難しくないと思います)

質問

高１から質問された問題です。

i)長さ12cmの線分ＡＢ上に点Ｐがある。ＡＰ、ＰＢをそれぞれ１辺とする２つの正方形の面積の和は、隣り合う２辺の長さが線分ＡＰ、ＰＢと等しい長方形の面積よりも54cm^2大きい。ＡＰの長さを求めよ。ただし、ＡＰ＞ＰＢとする。

そんなに難しくないだろうと予測はつくのですが、イマイチ問題文の意味が分かりません。

ii)１辺の長さ１cmの正方形ＡＢＣＤに内接し、この正方形と１つの頂点Ａを共有する正三角形ＡＥＦを作るとき、ＢＥの長さを求めよ。

ＢＥをｘとおき
ＡＥ＝ＡＦ＝ＥＦ
ＥＣ＝ＣＦ＝1-x
ここから先が分かりません。

詳しく解説して頂けませんでしょうか？
よろしくお願いします。

回答No.2

lelouch01

i)のみ解説。（僕自身高校１年ですので一部曖昧な説明ですが参考になればうれしいです。）

下のように線分にPを入れる。
（ただし、AP>PBの仮定があるから左を多めに取る）

A------------------|(P)------------B

ABは12cmある。よってAPを仮にxcmとするとPBは(12-x)cmになる。

A------------------P（x)cm

P------------B (12-x)cm

設問通りにAPを辺とする正方形の面積をだす。

AP=(x)cmなので正方形の面積をだす公式通りに2乗する。
（APを辺とする正方形の面積＝A）

A=x^2(平方センチ)

PBを辺とする正方形の面積も同様にだす。
（PBを辺とする正方形の面積＝B）

B=(12-x)^2(cm^2)

２つの面積の和は「A+B」になる。
よって、上の解を代入して

A+B = x^2 + (12-x)^2

とりあえず、これで第一段階終了。

次に「隣り合う２辺の長さが線分ＡＰ、ＰＢと等しい長方形の面積」をだす。

この問題は次のように解釈できる「縦はAPcm、横はPBcmの長方形の面積を出せ」と解釈できる。

よって面積は

AP × PB = x(12-x)

まとめると、

ＡＰ、ＰＢをそれぞれ１辺とする２つの正方形の面積の和は「x^2 + (12-x)^2」…以降X

隣り合う２辺の長さが線分ＡＰ、ＰＢと等しい長方形の面積は「x(12-x)」…以降Y

これを「AはB面積よりも54cm^2大きい」

から、このままだと「X ≠ Y」なので「＝」にさせて求められるようにするために、

過不足の54cm^2を「X-54 = Y」もしくは「X = Y+54」とさせることで計算可能。

どちらでやっても答えは同じだが、今回は「X = Y + 54」で計算する。

X = 「x^2 + (12-x)^2」

Y = 「x(12-x)」

を代入して「x^2 + (12-x)^2 = x(12-x) + 54」

計算は説明不要だと思うのである程度飛ばします。

x^2 + (12-x)^2 = x(12-x) + 54

……(展開、以降、最大公約数で割る…)

x^2 - 12x + 30 = 0

解の公式をかまして

x = 6±√6 になります。

もちろんマイナスになる可能性は0（マイナスの辺を持った図形は存在しない）ですので「x(AP) = 6+√6」が答え。

一応AP>PBの検証。ABが12cmで半分以上（6cm）なので問題なし。

答え. APは6+√6cm