じゅず順列の問題

質問

「赤玉、白玉、青玉をそれぞれ２つずつ使って腕輪を作るとき、何通りの腕輪ができるか」という問題があります。

答えは１１通りとなっているのですが、なぜこうなるのかがわかりません。どれか１つの玉があればわかりやすいのですが・・・

わかりやすい解説をお願いします。

回答No.2

tarame · ベストアンサー

区別のできないものが複数あるときは、個数の少ないものに注目して場合分けしましょう。
この問題では２個なので、その２個を赤として
(ア)隣り合う　(イ)間に１個　(ウ)間に２個　と場合分けしましょう。
(ア)のとき　(1)～(4)に白と青を入れる方法を考えます
●-●　(1)(2)白(3)(4)青（逆は裏返しで同じ）の１通り
(4)　(1)　(1)(3)白(2)(4)青（逆は裏返しで同じ）の１通り
(3)-(2)　(1)(4)白(2)(3)青（逆は異なる）の２通り
(イ)のとき
●(1)●　(1)白（(2)白(3)(4)青,(3)白(2)(4)青）の２通り
(4)(3)(2)　逆は異なるものだから、２通り
(ウ)のとき
┌●┐ 　(1)(2)白(3)(4)青（逆は裏返しで同じ）の１通り
(4)　(1)　(1)(4)白(2)(3)青（逆は回転で同じ）の１通り
(3)　(2)　(1)(3)白(2)(4)青（逆は裏返しで同じ）の１通り
└●┘
数珠順列の場合は、裏返しても同じもの（線対称）に注意しましょう。
したがって、場合分けするのが近道かと思われます。

お礼

場合分けして一つ一つ数えていけばよかったのですね。計算で求めるものと思い、頭がこんがらがっていました。

No.1さんのご回答と合わせて、理解することができました。
ご丁寧な解説をありがとうございました。

回答No.1

adinat

１つの玉しかない色がない場合は、最小の数の玉に注目してまず配置を決めます。その後、重複数珠の場合は、線対称なものとそうでない配置に分けて計算すると楽ですが、数が少ない場合は全部列挙してしまうのが手っ取り早いです。回転対称性、線対称性、および複数の対称軸や対称角を持つ場合は計算でやるのは絶望的です（重複円順列なら公式があるにはありますが、あまり有用ではない）。

化学をご存知なら、ベンゼン環を想像するのがいちばんよいです。どの色でもよいので、赤に着目しますと、赤の配置としては、オルト/メタ/パラの三通りあります。オルト＝隣接、メタ＝１つ飛び、パラ＝2つ飛び。
まず赤がオルト位（隣接している場合）のとき、残り白を埋めますが、白の配置としては、オルトが２種類、メタとパラが１種類ずつあります。図をかけば、これらは直ちにわかります。
次に赤がメタ位（１つ飛びになっている場合）のとき、白はオルトが１種類、メタが２種類（赤にはさまれているものがあるときと、そうでないとき）、パラが１種類。
最後に赤がパラ位（真向かいになっている場合）のとき、白の配置はオルト、メタ、パラがそれぞれ１種類ずつです。対称性から、それぞれ数珠順列としては１種類しか出来ないことを確認してください。
以上、４＋４＋３＝１１というわけです。

いずれにしても、基本的なアイデアは、まず何かの色の配置を固定して考える、ということです。１つの色がある場合はそうしますよね。

お礼

すべて数えてしまうという方法がありましたか。気がつきませんでした。
ひとつの色を固定する解き方はやってみたのですが、４，４，３という数字が出てきませんでした。計算してみます。

ありがとうございました。