三角形の辺の値を求める

質問

基礎的な問題なのかもしれないのですが、
三角形の辺の値を求める問題が解けません・・・。
教科書と問題集を見ても見つからず、困ってしまいましたので
ここに質問させていただきます。

画像がなく、説明だけになってしまうため
解りにくいかと思いますがどなたか教えてくださると嬉しいです。

問　ABCの三角形があり、AからBCに線を引き
BD=DC=xとします。
AB=3　AD=5　AC=9のときxを求めよ。
という問題です

内角の二等分線と比の関係、
外角の二等分線と比の関係は解るのですが
この問題は角は関係ないみたいですよね？

どう考えれば良いのか、
考え方だけでも結構ですので
どなたかアドバイス等よろしくおねがいします。

回答No.2

miina02 · ベストアンサー

ｘは整数でいいんですか？

条件がそれだけなら、「長辺の長さは他の2辺の和より小さい」という三角形の条件を当てはめればいいのではないでしょうか？

お礼

そうですね、
2辺の和よりもう1辺は小さいということを忘れていました；

最近学習した授業からいうとmiina02さんの考え方が1番近いかもしれません。
この方法で計算して自分なりに答えを導きました。
ありがとうございました！

回答No.9

kiki57

∠ADB＝θとすると、∠ADC＝180°－θ
ですよね。
ここで
cos(180°－θ)＝－cosθ
を利用します。
△ABDと△ADCについて余弦定理をそれぞれ使い、連立方程式を解けば簡単に出ます。

△ABDについて
3^2=5^2+x^2-2・5・cosθ
x^2-10xcosθ+16=0―(1)
△ADCについて
9^2=5^2+x^2-2・5・(-cosθ)
x^2+10xcosθ-56=0―(2)
(1)＋(2)より、
2x^2-40=0
x＞0より
x=2√5

いかがでしょう。
教科書に載っていることのみをシンプルに使った、スマートなやり方だと思います。

お礼

余弦定理というものがあるのですね。
細かいご説明ありがとうございます。
自分なりに解くことができました。
ありがとうございました。

回答No.8

darkking

余弦定理を用いて計算すると∠ADBをαとおくと
△ABDに余弦定理を用いて計算すると
9 =x^2 +25 − 10x cos α ・・（１）
△ADCに余弦定理を用いて計算すると
81=x^2+25 -10x cos(180- α)
81=x^2+25＋10x cos(α)・・（２）

（１）＋（２）より、
90=2x^2＋50
x^2=20
∴x=2√5(x＞0)

お礼

余弦定理というものがあるのですね。
覚えておきます。

細かく説明してくださりありがとうございました。
無事解くことができました。

回答No.7

pirakin

中線定理（パップスの中線定理）をご存知でしょうか？
ご提示の問題の場合で言うと
『AB^2 + AC^2 = 2(AD^2 + BD^2)』となります。
これを使えば、定理に数字を代入するだけですね。

この定理を使う問題は、時々出てきますので、
覚えてしまって損はないと思います。
特徴的な三角形の定理なんかは、覚えてしまえば応用が利きますね。
（有名なメネラウスの定理、チェバの定理など）

参考になりましたでしょうか？
それでは、勉強頑張ってください。

お礼

そんな便利な定理があるのですね！
数値を代入して解くことができました。
(ネットを使い中線定理のことも調べてみました。)

参考になりました。
ありがとうございました。

回答No.6

postro

ベクトルAB=b↑
ベクトルAC=ｃ↑
として、ベクトルADをb↑,c↑で表し、その絶対値の2乗を計算する(=25)
そして、内積　b↑・c↑　を求める。これがわかれば
|b↑-c↑|^2 （すなわちBC^2)がわかる

お礼

ベクトルという考え方もあるのですね。
今まで知らなかったことを勉強できました。
ありがとうございました。

回答No.5

shintaro-2

あなたは中学生
それとも高校生？

高校生なら、角Bを使って余弦定理で解きましょう。

お礼

私の説明不足ですみません；
高校生です。

ですが、まだ余弦定理というものを学習しておらず
解りませんでした；
定理についてネットや参考書など色々と調べてみて
自分なりの答えを導くことができました。

ありがとうございました。

回答No.4

take_5

∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ＝θとすると、△ＡＢｃ＝△ＡＢＤ＋△ＡＣＤより、1/2×9×3×sin2θ＝1/2×3×5×sinθ＋1/2×9×5×sinθ。
よって、cosθ＝3/4であるから、△ＡＢＤに余弦定理を使えば良い。

お礼

ご説明ありがとうございます。
余弦定理というものがあるのですね。
定理を色々と調べてみました。
答えはなんとか導くことができました。
ありがとうございました。

回答No.3

10ken16

２通りの解き方があります。

△ABDと△ABCについて余弦定理を使うと、
（3^2+x^2-5^2）/2*3*x＝（3^2+(2x)^2-9^2)/2*2*2x
これを解いてX=√20

もう一つはかなり大変。
ＡからBCに降ろした垂線の脚をEとおき、
BE＝d、AE＝hとすれば
△ABE、△AED、△AECについて三平方の定理を使えます
hの消去は簡単ですが、dとxの連立がかなり大変でしょう。

お礼

余弦定理というものがあるのですね。
知りませんでした；
色々と方法を考えてくださり、ありがとうございました。

回答No.1

Quattro99

BDとDCが等しいという条件をどこかで使うことになるはずです。そこから、△ABDと△ADCの面積が等しいという等式を立てて解く方法を思いつきましたが、かなり面倒そうで計算はしていません。
もっと簡単な方法があるかも知れません。また、考えてみます。

お礼

色々と考えてくださり、ありがとうございます。
なんとか自分なりの答えを導くことができました。
ありがとうございました。