定積分

質問

B_m=∫[0→π/4]((sint)^2m)dt を積分し
(2m/(2m-1))B_m=(1/(2m-1))B_(m-1)-(1/2)^m
B_1=π/8-1/4
という漸化式を得たのですが、この漸化式を使うとB_2がどうしても負になってしまいます。何度検算してもこの漸化式を得ます。何度検算してもB_2=π/24-1/3になります。
一体どこが違っているのでしょうか?よろしくお願いします。

回答No.2

yhposolihp · ベストアンサー

漸化式が何か違うので、途中計算を吟味してみて下さい。
B_m=B(m),,,,[0→π/4]=[0,pi/4]です。

B(m)
=∫[0,pi/4]((sint)^2m)dt
=(-cost)((sint)^(2m-1))[0,pi/4]-(2m-1)∫[0,pi/4](-cost)(cost)((sint)^(2m-2))dt
=-((1/2)^m)-(2m-1)∫[0,pi/4]((sint)^2)-1)((sint)^(2m-2))dt
=-((1/2)^m)-(2m-1)∫[0,pi/4](((sint)^(2m))dt+(2m-1)∫(((sint)^(2m-2))dt
=-((1/2)^m)-(2m-1)*B(m)+(2m-1)*B(m-1)

　B(m)=-((1/2)^m)-(2m-1)*B(m)+(2m-1)*B(m-1)
　2m*B(m)=-((1/2)^m)+(2m-1)*B(m-1)

漸化式は、

　　B(m)=-{{(1/2)^(m+1)}/m}+{(2m-1)/2m}*B(m-1)

　B(1)=-(1/4)+(1/2)(pi/4),,,,,,,,,>>π/8-1/4

　B(2)=-(1/16)+(3/4)*{-(1/4)+(1/2)(pi/4)}
=-(1/16)-(3/16)=(3/32)pi=(-1/4)+(3π/32)=(3π-8)/32

お礼

丁寧な解答本当にありがとうございます。
笑っちゃうようなミスを何度もしてました。
おかげで気づきました。本当にありがとうございました。

回答No.1

imopro

漸化式が違っていると思います．
B_1は合っています．部分積分を用いて積分すると（※），以下のようになりました．

B_m=((2m-1)/(2m))B_(m-1)-1/(m2^(m+1))
この場合，B_2=3π/32-1/8 (>0)となりました．

※長いので，最初だけ書いておきます．
B_m=∫[0→π/4]((sint)^2m)dt
=∫[0→π/4]((sint)^(2m-1)(-cost)')dt

合っている確信はないですが，多分いいんじゃないでしょうか．