• 締切済み
  • すぐに回答を!

無限集合の濃度

無限集合の濃度について解説してもらえません?

noname#2007
noname#2007

共感・応援の気持ちを伝えよう!

  • 回答数3
  • 閲覧数749
  • ありがとう数3

みんなの回答

  • 回答No.3
  • aster
  • ベストアンサー率70% (374/533)

  「濃度」というのは、集合の「大きさ」を示す指標ですが、有限集合と、無限集合では少しその意味が違って来ます。 一般に集合には、「濃度」という量があるとされます。有限集合の場合、濃度は、その集合の「大きさ」と等しくなります。つまり、要素が100の集合の濃度は、100です。一般に、要素の数が、有限のm個の集合の濃度はmです。mは無論、自然数です。 有限集合、無限集合、両方の場合で、二つの集合AとBは、両者のあいだに、一対一対応写像が存在するとき、二つの「濃度は等しく」なります。(一対一対応写像とは、全単射のことですが、これは有限集合の場合は、そう言っても構いませんが、無限集合の場合は、用語としてどうかと思います)。 有限集合の場合、どういう単射写像を取っても、二つの集合のあいだに、一対一対応写像が存在すれば、両者の濃度は等しくなります。 しかし、無限集合の場合、「単射写像の取り方により」、一対一対応写像が存在する場合と、存在しない場合があります。 通常、自然数の集合の濃度を、アレフ・ゼロと呼びます。可算無限とか、可付番無限とか呼びます。無限の要素に、番号を付けて、数えることができるように思えるからです。 これよりも、濃度の濃い無限集合は、実数の集合であるとされます。実数の集合の濃度を、アレフ1と呼びます。連続体濃度とも呼びます。 カントールの無限集合論では、無限集合の濃度を、仮に記号で表して、fとかgとします。f<gとします。 すると、 f+通常の数=f fX通常の数=f f+f=f fXf=f f^n=f nは自然数 f+g=g fXg=g となります。 自然数と整数の集合の濃度を比べると、そもそも、整数のなかに自然数が含まれますから、|自然数|<|整数|というのは自明なようにも思えます。つまり全射という視点からは、自然数と整数の無限は、整数の無限の方が濃度が高いように思えます。 しかし、単射という観点からは、任意の自然数をaとすると、aが偶数の場合、b=-a/2、aが奇数の場合、b=(1+a)/2とすると、自然数から整数への単射を作ることができ、この単射は、全射でもあり、つまり、一対一対応写像であることから、自然数と整数の無限濃度は等しいということになります。 同じようにして、偶数全体の集合の濃度と、整数の集合の濃度が等しいことが証明できます。 可付番無限と連続体無限は、そのあいだに、「一対一対応写像」が存在するとすると、矛盾が生じることが証明でき(普通、「対角線論法」というものを使います)、従って、アレフ・ゼロより、アレフ1の方が、濃度が高いことになります。 一般に、ある無限集合がある時、その無限集合の濃度をfで表すと、2^f は、fとのあいだに一対一対応写像があるとすると、矛盾になるので、fより高い濃度と考えられ、2^f=f+1と書きます。 しかし、アレフ・ゼロ無限とアレフ1無限のあいだに、中間濃度の無限集合があるのかどうかが問題になります。これを、「連続体仮説」と言います。また、一般にアレフfとアレフf+1のあいだに、中間濃度の無限集合があるのかという問題もあり、これを、「一般連続体仮説」と言います。 これについては、中間濃度は、あるとしても、無限論は矛盾なく作れ、ないとしても、同じく矛盾なく作れるということが証明されています(コーヘンの証明です)。 少し難しいですが、以下のURLを参照してください: >連続体仮説 >http://ysserve.cs.shinshu-u.ac.jp/Lecture/SetTheory3/settheory05/node7.html  

参考URL:
http://ysserve.cs.shinshu-u.ac.jp/Lecture/SetTheory3/settheory05/node7.html

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

関連するQ&A

  • アレフ0より小さな濃度をもつ無限集合

      アレフ0(可算集合の濃度)より小さな濃度をもつ無限集合はありますか。  

  • 無限集合の連続体濃度のよりも大きな濃度?

    http://ufcpp.net/study/set/cardinality.html#carginality 上記のサイトを眺めておりましたところ、下記の記述に出会いました。 ===引用=== 余談になりますが、 この記号 ‭א は、 ヘブライ文字の1文字目で、ギリシャ文字のα、ローマンアルファベットの a の元になった文字です。 無限基数の中で小さいものから順に、 ‭א0 , ‭א1 , ‭א2 , ・・・ と表します。 昔は、 無限基数を小さいものから順に、 ヘブライ文字の第 n 文字目で表していました (aleph, beth, gimel, daleth, ・・・)が、 読めないし、写植の上でもなかなか表示できないので、 アレフの右下に添字を付ける今の表記法になりました。 ===引用終わり=== 恥ずかしながら、無限集合の濃度の事を聞いて以来、無限集合の濃度は下限が ‭א0で上限がא1なのかと勝手に思っておりました。 ところが、上述のように、 ‭א0 , ‭א1 , ‭א2 , ・・・ ということでありますと、俄然 ‭ ‭‭א2の濃度を持つ無限集合に興味が湧いてまいりました。 連続体濃度よりも濃度が大きい無限集合とはどのような集合でしょうか? 数学の素人なものですから、直観的に理解できそうな実例を一個・二個、お示し頂けるとありがたいです。

  • 集合は有限集合と無限集合だけですか?

    有限集合の元の数を考えるとき、 「いかなる有限集合よりも元の数が多い有限集合は存在しない」------(A) ことがわかります。一番大きな基数の有限集合が存在しないと言い換えても良いですね。 ところがここに無限集合の概念を導入すると 「いかなる基数の有限集合よりも大きい集合として無限集合がある」---(A’) ここで「大きい」とは二つの集合の元を対応させて行くと、「大きい」方の元が余ることを言います。 ここでは、“超有限集合”=無限集合という関係が成り立ちます。 さて、公理的集合論の公理により、無限集合Rから常にPower(R)が作れるので、 「いかなる無限集合よりも濃度の数が多い無限集合は存在しない」------(B) が成立しました。 一番大きな濃度の無限集合が存在しないと言い換えても良いですね。 ここで、有限、無限に続く第三の概念として、“超無限集合”=寿限無集合(仮名)という概念を導入します。 すると、(A)に対して(A’)が成り立ったように、(B)に対して(B’)が成り立ちます。 「いかなる濃度の無限集合よりも大きい集合として寿限無集合がある」---(B’) 質問1:このような寿限無集合はZFC公理系で無矛盾に定義できますか? 質問2:集合の種類は有限と無限の二種類でしたが、第三の概念を導入すると、無限集合では成り立たないが寿限無集合の世界だけで成り立つ定理も発見できると思うのですが、このような概念の拡張をした数学者はいましたか? 質問3:有限と無限以外に第三の概念を導入することが無意味であると立証できますか?

  • 回答No.2
  • Esna
  • ベストアンサー率36% (4/11)

こんにちは.Esnaです. 集合A,Bがあったとき,AからBに全単射が存在するとき,AとBは等しい濃度をもつといいます. 自然数の集合Nは,無限集合ですが,これを可算無限集合といいます.無限集合の中で濃度がもっとも小さいものです.濃度は,アレフ0です. ある集合AがNに対して,全単射が存在すれば,AはNと同じ濃度を持ちます. また,自然数の集合の濃度より大きい濃度をもつ集合を非可算集合とよびます.実数の集合は,非可算集合で,連続体濃度と呼ばれ,その濃度は,アレフです.

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

  • 回答No.1

もう少し具体的に、知りたいことを述べて頂けないでしょうか?

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

関連するQ&A

  • 有理数集合の濃度は非可算?!

    有理数集合の濃度は非可算?! 有理数集合Qの濃度は可算ですが、以下のように考えたところQ(の部分集合)が非可算無限集合になってしまいました。 どこが誤りかご教授願います。 正の有理数は素数のベキを用いて 2^α×3^β×…(α,β,…∈Z) で一意的に表される。 素数の個数は可算無限個なので Q+とZの可算無限個の直積が一対一対応する。 このときZも可算無限集合なので、可算無限集合の可算無限直積で非可算無限集合になる。 よってQ+は非可算無限集合である。

  • 集合の濃度

    閉区間[0,1]の集合の濃度はN1であることを示せという問題なんですが、まったくわかりません。そもそも濃度とはなんぞや?という状態です。解説や、わかりやすいサイトなどがあればお願します。

  • 無限集合に関することです。

    無限集合に関することです。 自然数全体を可算無限個の互いに交わらない集合A1,A2,A3・・・(どのAkも可算無限集合)の和として表わされることを示したいのですがどうすれば良いですか? 可算無限集合は自然数全体の集合との間に1対1対応の関係がある集合のことなのに、自然数全体を互いに交わらない集合で示せるのでしょうか?

  • 和集合と濃度の関係について

    こんにちは。 集合論の本を読んでいて、わからないところがあります。お力をお貸しください。 わからないところは、ベキ集合のベキを無限にとることによって、無限濃度の可算増加列が得られるが、その可算列の先のさらに大きな濃度の集合Mをとることができるというところです。 自然数の集合Nのベキ集合をB^1(N)とし、そのベキ集合のベキ集合をB^2(N)とすれば、上述の無限濃度の増加列が、「|N|<|B^1(N)|<|B^2(N)|<…<|B^n(N)|<…」として得られます。 このとき、M=⋃(n=1から∞)B^n(N)とおけば、「|B^n(N)|<|M|」が導かれるというのです。 私の疑問は、「n=1から∞」までのB^n(N)の和集合の濃度が、本当に|B^n(N)|を超えるのか?というところです。 といいますのも、アレフにアレフゼロを足してもアレフのままであるように、和集合が単純にB^n(N)より大きくなるとは言えないんじゃないか?と思うからです。 この論理の根拠は(すなわち和集合と濃度の関係についての上述の論証の根拠は)どのようなものなのでしょうか? アドバイスお願いします。

  • 有限集合を無限に直積した集合の濃度は?

    有限集合Aがあったとして、A×A×A×・・・と加算無限回直積させたら濃度はどうなりますか? 直感では加算無限個になると思うのですが、証明する方法が思いつかないので教えてください もし言葉や記号に間違いがあったら教えてください、補足します

  • 連続固有値の疑問 (集合の濃度の点で)

    ヒルベルト空間が稠密ということは、状態ベクトルの全体がなす集合の濃度が 加算無限(X0) と思います。 それなら、固有空間⊆ヒルベルト空間ですから、固有ベクトルの集合の濃度も、高々 X0 したがって、連続固有値のなす集合も、高々 X0  ということは、連続固有値の集合の濃度は、連続(X1)  じゃないことになります。 これって、連続固有値の定義と矛盾しませんか? 関連質問: http://okwave.jp/qa/q7856953.html

  • 可能無限と実無限

    可能無限と実無限って何ですか? このカテゴリで合ってますか? 自然数全体という集合が存在すること関係ありますか? 集合の濃度と関係ありますか(可算無限の友達ですか)? 実数直線の両端にくっついてる「±∞」と関係ありますか? 無限大超実数(NSA)と関係ありますか? 数学科の大学生に教える感じで、お願いします。

  • 集合の濃度に関する質問です

    可算無限集合Aの濃度をα_0(アレフ0) R^nの濃度をα_1(アレフ1) (nは自然数) Aの冪集合の濃度を2^α_0(2のアレフ0乗?) ※ヘブライ語のアレフの代わりに、αを使って記述してます。 なので以下αはアレフと読むことにします。 このとき (1)α_0よりα_1のほうが"大きい"こと (2)α_0より2^α_0のほうが"大きい"こと の2つはわかったのですが、α_1と2^α_0ではどちらが大きいのですか? それとも2^α_0=α_1なのでしょうか? 私の記憶では、α_1はα_0の次に"大きい"濃度と定義されていたような気がしますが・・それだとα_0より大きくα_1より小さい濃度は存在してはいけないことになりませんか?(つまり、α_1>2^α_0の可能性はない) 来年度に数学科2年となる身なので、あまり高度な知識は持ち合わせていないです・・。すいません。 どなたか詳しい方がいらっしゃいましたら回答よろしくお願いします。 [補足] (1)については Aが可算(自然数全体の集合Nとの間に1対1かつontoな写像ができる)である一方で、Rは対角線論法により非可算なので、α_0よりα_1のほうが"大きい"としました。(RとR^nの濃度が等しいことの証明は省略します) (2)については Aの冪集合の濃度、つまり元の個数を、Aの各元を含むか含まないかを1と2に対応させることで、小数0.122111222121122・・・・・の総数へと帰着し、あとはこの小数全体に対して対角線論法を用いることで、α_0より2^α_0のほうが"大きい"としました。 「Aの各元を含むか含まないかを1と2に対応させる」とは、 たとえば、A={1,2}であればAの冪集合の濃度(個数)は2^2=4個ですが、これを 0,22⇔Φ(空集合) 0,12⇔{1} 0,21⇔{2} 0,22⇔{1,2} というように小数に対応させるということです。 "大きい"という言葉の定義をしてないのでこの表現が曖昧かもしれませんが、上記のようにして"大きい"かどうかを判断しました。

  • 可算無限集合と非可算無限集合の違いが分かりません。

    例えば、こういう問題のときそれぞれ可算無限集合と非可算無限集合のうちどっちですか? (1)0≦x≦1を満たす実数x (2)任意の自然数N (3)任意の実数R 回答よろしくお願いします。

  • 集合の濃度について

    集合の濃度について2つ質問があります. 1つ目の質問ですが,例えば, A={1,2,3,3,3,4} という集合があった場合,この集合の濃度は |A|=6 と解釈されるのでしょうか?それとも|A|=4と解釈される のでしょうか.後者は3が3つあるので1つに省略すると解釈. 2つ目の質問ですが,例えば A={1, 1/3, 3/9, 8/24} という集合があった場合,この集合の 濃度は,|A| = 4 と解釈されるのでしょうか?それとも 1/3 と 3/9と 8/24 の実体は同じと考えて,|A|=2 と解釈するので しょうか? 集合の濃度について勉強したときに,上記のことをうまく説明 してくれる本がなく,このような質問をしています.