二次関数について

質問

二次関数の値域についてなんですが・・・≦や<の記号は、問題によって判断すればいいんですか？よく分からないんで、教えて下さい。例えば
（a≦x<b)なら、（a≦y<b)になるっていう決まりがあるってことなんですかね。

回答No.4

velvet-rope · ベストアンサー

値域について、
　（a≦x<b)なら、（a≦y<b)になるっていう決まりがある
というのは違うと思います。
質問者様は下記のように考えられているのでしょうか。
・定義域がa≦x＜bなら地域がc≦x＜d
・定義域がa＜x≦bなら地域がc＜x≦d
・定義域がa≦x≦bなら地域がc≦x≦d
・定義域がa＜x＜bなら地域がc＜x＜d
のように、不等号の順序が対応していると考えられているのであれば、それは違います。

簡単な例を挙げますと
　y＝x^2の -1＜x＜1でのyの値域は0≦y＜1
です。

値域の不等号について判断するには、グラフから判断するしかありません。

お礼

簡単な例が分かりやすかったです。ありがとうございました。

補足

グラフの判断についてお聞きしたいんですが・・・その例の場合で言えば、0が最小値になって原点部分に接しているから≦（0を含む）という解釈でいいんですか？

回答No.5

kts2371148

値域が (x1≦x＜x2) の場合を例にして手順を説明すると、以下のようになります。

まず平方完成して、
f(x) = y = a(x-p)^2 + q
の形にします。それからグラフを描きます。
頂点が (p,q) で、上に凸か下に凸かどちらかの放物線になります。

それから、点Ａ ( x1 , f(x1) ) に黒丸をつけます。
点Ｂ ( x2 , f(x2) ) に白丸をつけます。
（等号であればその点を含むという意味で黒丸、
　不等号であればその点を含まないという意味で白丸をつけます。）

それから、放物線上の、値域に対応する部分を太線にします。
つまり、点Ａから放物線上をたどって点Ｂまで、太線にします。
このようにグラフを描けば、y の値域がわかると思います。
以下のようになります。

（記号の意味）
a1 と a2 のうち大きい方を max(a1,a2) 、小さい方を min(a1,a2) と表記します。
また、[≦＜]という記号は、≦か＜のどちらか、ということを意味します。
この場合、等号が成り立つかどうかは、対応する点が黒丸か白丸かで判断します。

（a > 0 の場合）
太線が頂点を含むなら、
　q ≦ y [≦＜] max( f(a1) , f(a2) )
太線が頂点を含まないなら、
　min( f(a1) , f(a2) ) [≦＜] y [≦＜] max( f(a1) , f(a2) )

（a < 0 の場合）
太線が頂点を含むなら、
　min( f(a1) , f(a2) ) [≦＜] y ≦ q
太線が頂点を含まないなら、
　min( f(a1) , f(a2) ) [≦＜] y [≦＜] max( f(a1) , f(a2) )

お礼

言っていることは分かるんですけど・・・もう少し分かりやすい解説だと嬉しかったかなと思います。ありがとうございました。

回答No.3

kkkk2222

（a≦x≦b)として、

関数Ｆ（ｘ）が単調増加ならば、
Ｆ（a）≦Ｆ（x）≦Ｆ（b）・・・不等号の向きはそのまま、
単調減少ならば、
Ｆ（a）≧Ｆ（x）≧Ｆ（b）・・・不等号の向きは逆転する。

二次関数の場合は、ｙ＝ｘ＾２として、
頂点（０、０）、
０≦aのとき、（値域の）不等号の向きはそのまま、
b≦０のとき、（値域の）不等号の向きは逆転する。
a＜０＜bのとき、更に場合分け。

　○　　　　　　　　　　　　　　　○

　　○　　　　　　　　　　　　　○

　　　○　　　　　　　　　　　○
　　　　○　　　　　　　　　○
　　　　　　○　　　　　○
　　　　　　　　　○
↑逆転↑　↑場合分け↑↑そのまま↑

お礼

一番最後の部分がイマイチよくわからなかったです。

回答No.2

moerm

そうですね。
２次関数の場合は
y=ax^2でｘの値が正でも負でもｙは正
ｙ=－ax^2でｘの値が正でも負でもｙは負

なのであなたの例を使うと、aがb入れ替わるのはないので、決まりは正しいですよ。

もし１次なら
y=-x
で-３≦ｘ＜２ならば
ｘ＝３、－２で
－２＜ｙ≦３で移動しちゃいますからね。

お礼

一次関数での例えが、とても分かりやすかったです。ありがとうございました。

回答No.1

kaaaiii

≦はその数を含む時、、＜はその数を含まない時に使います。
つまり、1≦x　ならば、xは２や３もそうですが、1もそうです。
しかし、1<x　ならば、xは１を含みません。

なので、例えばxが整数の時、 0≦x＜5　だと、xは0,1,2,3,4だけになります。

お礼

聞きたい事は、そういったことじゃなかったんですけど・・・ありがとうございました。