射影についての証明

質問

ある点x0から集合C（凸であるとは限らない）への射影の点を、
Pc(x0)とする。
x=θ*x0+(1-θ)*Pc(x0)（θ≧0）
であるとき、Pc(x0)=Pc(x)となるということを示せ。

という問題を考えています。
0≦θ≦1のときは証明できるのですが、

θ≧1のときにはどうすればよいのでしょうか？

回答No.5

adinat

またまたミスった。情けない。申し訳ないです。
>>θ≦1のときの証明と、P_c(x(θ'))=yであることから、P_c(x(θ''))=yでなくてはなりませんが、
というところがデタラメで、このときθ≦1の議論を使うと、違う直線になってしまうのですね。出直してきます。

すぐに代案が思い浮かばないので諦めることにします。がんばってください。

お礼

いえいえ、その答えようとしてくださったお気持ちだけで十分です。
ありがとうございました。

回答No.4

adinat

すいません、先の投稿は忘れてください。何の証明にもなっていませんでした。

次のように考えるとよいです。いまxはθのベクトル値関数だと思えるので、x(θ)のように書くことにします。さらに、非負値関数
f(θ)=||x(θ)-P_c(x_0)||=θ||x_0-P_c(x_0)||
を考えましょう。これは連続関数(1次関数)です。さて、θ'>1で、P_c(x(θ'))≠P_c(x_0)となるようなものがあったと仮定しましょう(背理法!)。y:=P_c(x(θ'))∈Cとおいてやって、
g(θ)=||x(θ)-y||とおきます。g(θ)も明らかに連続関数です。なんとなれば、三角不等式から、g(θ+h)≦g(θ)+h||x_0-P_c(x_0)||と出来るからです。

今、仮定から、g(θ')<f(θ')です。さらにこれも仮定から、g(1)>f(1)です。ゆえに、中間値の定理から、ある1<θ''<θ'で、g(θ'')=f(θ'')を満たすようなものが存在します。θ≦1のときの証明と、P_c(x(θ'))=yであることから、P_c(x(θ''))=yでなくてはなりませんが、||x(θ'')-P_c(x_0)||=||x(θ'')-y||でもあるので、これは一意性に反します。ゆえに、θ≧1でも題意が成立する。

というのでいかがですか。

回答No.3

adinat

一般のノルム空間でできる議論なので、(X,||・||)でやります。X=R^dで、||・||はユークリッドノルムに置き換えて構いません。

c∈Cを任意にとります。P_c(x_0)∈Cはx_0との距離が最小になるC内の元ですから、
||x-P_c(x_0)||=θ||x_0-P_c(x_0)||≦θ||x_0-c||
が成り立ちます。したがって、P_c(x_0)はxとの距離をも最小にするCの元であることが分かります。ちなみに、最初の等号にはノルムの性質；
||αx||=|α|||x||
とθが非負であることを使っています。

お礼

ありがとうございます。参考になりました。

回答No.2

zk43

凸というのがどう効いてくるのかわかりませんが、
x=Pc(x0)+(x0-Pc(x0))θだから、xというのはx0とPc(x0)を結ぶ直線上
の点であるから、これを射影するとPx(x0)になるということでしょうか。
どのような空間内での話かわからないのでイメージですが。
３次元空間の点を平面に射影するというような話でしょうか。

補足

早速のお返事ありがとうございます。

集合が凸であるならば、
点x0とそれを集合に射影した点Pc(x0)を結んだ
（Pc(x0)からの）半直線上のあらゆる点の射影した点は、
射影Pc(x0)に等しくなります。
しかし、凸でない場合そうなるとは限りません。

実はこの問題は、
「ある点x0からある集合Cへの射影が一意に決まる場合、
（そういう集合をチェビシェフ集合というのですが）
その集合が閉凸（かつnonempty）であることを示せ」
という証明問題の途中で出てくる問題なのです。
それを次のような手順で証明しきます。
(1)その集合が閉で、nonemptyであることを示す。
(2)ある点x0から集合Cへの射影した点Pc(x0)が連続であることを示す。
(3)上に掲げた問題の証明
(4)以上を踏まえて凸性の証明。

つまりこの時点では凸であることを利用することはできないわけです。
（しかし、最終的に凸であることを証明したいので実は凸なのですが）
一意に決まるなど、条件についての説明もなく、
言葉足らずで申し訳ありませんでした。

回答No.1

koko_u_

「射影の点」とは |x0 - y| ( y ∈ C ) を最小とする y ということでしょうか？

C を例えば区分の和集合 [0, 1]∪[5, 6]、x0 = 2 とすると Pc(x0) = 1 ですね。
θ = 3 とすると x = 3 * 2 + (1-3) * 1 = 4 よって Pc(x) = 5 ですね。

わざわざ凸であるとは限らないと断っているので、「射影の点」が違うのかなぁ？

補足

早速のお返事ありがとうございました。

射影の定義についてはそれで間違いありません。
さらに説明しますと、|x0-y|（y∈C,|・|はノルム）
のノルムは一般的なノルムすべてではなく、
ここではユークリッドノルムのみを指します。

また、最初に説明し忘れて申し訳ないのですが、
実はこの問題は、
「ある点x0からある集合Cへの射影が一意に決まる場合、
（そういう集合をチェビシェフ集合というのですが）
その集合が閉凸（かつnonempty）であることを示せ」
という証明問題の途中で出てくる問題なのです。
それを次のような手順で証明しきます。
(1)その集合が閉で、nonemptyであることを示す。
(2)ある点x0から集合Cへの射影した点Pc(x0)が連続であることを示す。
(3)上に掲げた問題の証明
(4)以上を踏まえて凸性の証明。

つまりこの時点では凸であることを利用することはできないわけです。
（しかし、最終的に凸であることを証明したいので実は凸なのですが）
一意に決まるなど、条件についての説明もなく、
言葉足らずで申し訳ありませんでした。