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ヤコビアンの幾何学的意味について
ninigiの回答
- ninigi
- ベストアンサー率43% (10/23)
ヤコビアンは写像の各点での、変換前と変換後の体積比を表しています。 ヤコビアンの定義は、n次元空間からn次元空間への写像を微分して得られる(n,n)行列の行列式ですね。 まず、写像を微分して得られる(n,n)行列は、写像の各点での一次変換への近似を表しています。 また行列式は、体積が1のn次元立方体をその行列で移した時の体積を表しています。つまり一次変換で体積が何倍になるかを表しています。 また一次変換で図形が裏返る場合は体積はマイナスになります。 以上の事から、ヤコビアンとは「写像を各点で一次変換に近似した時の体積の倍率を表している」と考える事ができます。 従って積分などで変数変換したときに座標系による体積の違いを吸収するためにヤコビアンを掛けてやる必要があるのです。
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とても参考になりました。回答ありがとうございました。