ヤコビアンについて質問です。

質問

ヤコビアンってどういう意味ですか？
多変数関数を全微分した時の行列式みたいな感じで書いているサイトがありましたが、どういう意味があるのでしょうか？
よくわからないのでわかりやすく教えてください。

回答No.1

ereserve67 · ベストアンサー

2変数関数f(x,y)をある区域Dで積分するとします．

∬_Df(x,y)dxdy

これは面積要素dxdyにf(x,y)をかけたものを点(x,y)をDを一掃するように動かして足し合わせるということです．

この積分をxy直角座標系ではなくrθ極座標系で行うこともできます．そのとき

∬_Df(rcosθ,rsinθ)drdθ

では間違った結果を導きます．なぜならdrdθは面積要素ではないからです．極座標での面積要素は図を書けば分かりますが

rdθ×dr(動径方向dr,θ方向rdθの長方形)

となります．つまり，dxdy=rdrdθとすればよいのです．このrをヤコビアンというのです．

もし3変数関数の積分であればxyz直角座標系での体積要素dxdydzは球座標系ではr^2sinθdrdθdφとなり，ヤコビアンはr^2sinθとなります．

これを数学的にきちんと表現するとdet(∂x_i/∂u_k)のような行列式がでてくるのです．詳しくは数学書をみましょう．

お礼

どうもありがとうございました。
なんとなくイメージがつきました。

回答No.3

noname#163983

n次元ユークリッド空間上の点pの近傍Vで定義されたn次元ユークリッド空間への写像φがVで1回連続的微分可能でφ'(p)が0でないとき、逆写像定理によってpの近傍Uとφ(p)の近傍WとWで定義された関数ψが存在してψ=(φ|(U∩V))^(-1)でありψは1回連続的微分可能でψ'(φ(p))=(φ'(p))^(-1)となりますよね。

φ'(p)はpでの接平面T(p)からφ(p)での接平面T(φ(p))への線形写像と見ることができます。

T(p)のひとつの基底<u[1],u[2],...,u[n]>がつくる平行四辺形S={x[1]u[1]+x[2]u[2]+...+x[n]u[n]|0≦x[j]≦1}をφ'(p)で写すとその像の符号付面積はSの面積をdetφ'(p)倍したものになり（detφ'(p)はφ'(p)の行列式）、detφ'(p)をヤコビアンといいます。ここで符号付と書いたのは、<u[1],u[2],...,u[n]>が右手系のとき<φ'(p)u[1],φ'(p)u[2],...,φ'(p)u[n]>も右手系ならば正、<φ'(p)u[1],φ'(p)u[2],...,φ'(p)u[n]>が左手系ならば負とみます。

積分の変数変換にヤコビアンが登場するのは、上記φのような座標変換により面素がちょうどdetφ'(p)倍になるからです。

回答No.2

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A4%E3%82%B3%E3%83%93%E8%A1%8C%E5%88%97

変数変換した際の変化比率です。