- 締切済み
方程式が複雑で解けません
ru{1-(u/k)}-auv/(1+hu)=0 -cv^2 + {auv/(1+hu)}=0 r,k,h,a は正の定数 この2式を同時に満たす(u,v)を求める問題ですが、(0,0) (k,0)は式から見当は付いたのですがその他の解が見つかりません。どうやったら導き出せるのでしょうか? よく分からないのですが解の公式など使うのでしょうか?教えてください。
- shiojimaru
- お礼率47% (9/19)
- 数学・算数
- 回答数5
- ありがとう数2
- みんなの回答 (5)
- 専門家の回答
みんなの回答
- kts2371148
- ベストアンサー率70% (49/70)
#3です。 続きを計算すると、この方法では解けないようです。 u = m1x + n1y + l1 v = m2x + n2y + l2 を代入して 第一式×△ + 第二式×□ の3つの項を消すという方針の場合、 消す方法はいろいろあるのですが、どれをやっても、 解が存在しないか、行列 (m1 n1 [改行] m2 n2) が正則にならないか、 結局3次方程式に還元されてしまうかのどれかになってしまいます。 やっぱり、3次方程式の解の公式を使うしかないかもしれません。
- kts2371148
- ベストアンサー率70% (49/70)
途中までしか計算していませんが、以下の方法で解けるかもしれません。 #1さんご指摘の通り、u ≠ 0 , v ≠ 0 のとき、 r(1-(u/k)) - av/(1+hu) = 0 -cv + au/(1+hu) = 0 となります。そして、(1+hu)倍すると、 r(1-(u/k))(1+hu) - av = 0 -cv(1+hu) + au = 0 が得られます。ここから u についての3次方程式にすると、 恐らく解の公式を使う以外に方法がないと思います。 しかし、上の式を適切な係数で割ると、 u^2 + Au + Bv + C = 0 uv + Du + Ev = 0 の形になっています。(A,B,C,D,E は係数です。) これは u,v についての2次方程式ですから、 2次のままでなんとか処理したいところです。 そこで、 u = m1x + n1y + l1 v = m2x + n2y + l2 とおきます。(m1,n1,l1,m2,n2,l2 は係数です。) 代入して整理すると、 (m1^2)x^2 + (2m1n1)xy + (n1^2)y^2 + (2l1m1 + Am1 + Bm2)x + (2l1n1 + An1 + Bn2)y + l1^2 + Al1 + Bl2 + C = 0 (m1m2)x^2 + (m1n2 + m2n1)xy + (n1n2)y^2 + (l1m2 + l2m1 + Dm1 + Em2)x + (l1n2 + l2n1 + Dn1 + En2)y + l1l2 + Dl1 + El2 = 0 となります。そして、 第一式 + 第二式 の y^2,xy,y の項が消えるように 係数 m1,n1,l1,m2,n2,l2 を定めると、y が消去できます。 …といいたいところですが、実際にやってみるとできません。 この方法では、 x^2 と xy を同時に消すことはできない y^2 と xy を同時に消すことはできない x と y を同時に消すことはできない という法則があります。 そこで、第一式 + 第二式 の y^2,y,定数項 が消えるように係数を定めます。 つまり、 (n1^2)/(n1n2) = (2l1n1 + An1 + Bn2)/(l1n2 + l2n1 + Dn1 + En2) = (l1^2 + Al1 + Bl2 + C)/(l1l2 + Dl1 + El2) = -1 となるように 係数 m1,n1,l1,m2,n2,l2 を定めます。 n2 = -n1 が得られますので、代入すると、 (2l1 + A - B)/(-l1 + l2 + D - E) = (l1^2 + Al1 + Bl2 + C)/(l1l2 + Dl1 + El2) = -1 となり、整理すると、 l1 + l2 + A - B + D - E = 0 l1^2 + l1l2 + (A+D)l1 + (B+E)Bl2 + C = 0 となり、l1 についての2次方程式を解けば l1,l2 が得られます。 残りの係数は、n2 = -n1 を満たし、 行列 (m1 n1 [改行] m2 n2) が正則であるように選べばよいので、 できるだけ計算しやすい値を当てはめます。 すると、第一式 + 第二式 は x^2,xy,x の項だけになり、 x ≠ 0 であれば x,y の1次式になるので、 これを利用すれば x の2次式が得られ、解けると思います。 (もしこの方法で解けなかったらすいません。)
>ru{1-(u/k)}-auv/(1+hu)=0 >-cv^2 + {auv/(1+hu)}=0 >の式から(u,v)=(k,0)も満たすかなと考えているのですが、 > ru{1-(u/k)}-(au)^2/[c(1+hu)^2]=0・・・・(1) >の式からは(u,v)=(k,0)がでてきません。(1)はv≠0の時の場合なのでしょうか? もとの下式は、 -cv^2 + {auv/(1+hu)}=0 ですが V≠0 ならば、 -cv + {au/(1+hu)}=0 と同値です。 (u,v)=(k,0) の解があるとは限らないようですね。
>ru{1-(u/k)}-auv/(1+hu)=0 >-cv^2 + {auv/(1+hu)}=0 r,k,h,a は正の定数 下式から、 v = (au/c)/(1+hu) これを上式へ入れると、 ru{1-(u/k)}-(au)^2/[c(1+hu)^2]=0 整理すれば、u の4次方程式。
- koko_u_
- ベストアンサー率18% (459/2509)
第1式は u * { r(1-(u/k)) - av/(1+hu) } = 0 第2式は v * { -cv + au/(1+hu) } = 0 なので、u ≠ 0、v ≠ 0 の場合は (1) r(1-(u/k)) - av/(1+hu) = 0 (2) -cv + au/(1+hu) = 0 これから v を消して u の式にすると -(rh^2/k) u^3 + (rh^2 - 2rh/k)u^2 + (2rh - r/k - a^2/c) u + r = 0 。。。解けないわけではない。。。カナ?
お礼
夜遅くありがとうございます。vが消えてuだけの式ならなんとか解けそうです。(たぶん・・)さっそくやってみます!
関連するQ&A
- 解の安定性を調べるにあたっての定常解
du/dt=ru{1-(u/k)}-auv/(1+hu) dv/dt=-cv^2 + {auv/(1+hu)} r,k,h,a は正の定数 この方程式においてのu,vの挙動を考える問題なのですが、正直全く分かりません。とりあえず定常解を求めてそれに微小係数を加え、考えていこうと思っているのですが数学が得意でなく定常解すら分かりませんでした。どなたか教えてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数Iの2次方程式で分からないところがあります><
x^2+(k-1)x-2k-6=0が異なる2つの正の解を持つような定数kの値の範囲を求めよ。 という問題と、 3x^2-12x+12-k^2=0が正の解と負の解を1つずつもつような定数kの値の範囲を求めよ。 という問題が全く分からず困っていますorz 答えではなく解き方だけでいいので、どなたか親切な方おねがいします>< 判別式を使うのかな・・?と思いましたが、 問題を良く見ると「正」やら「負」やら指定されてますorz こういう場合ってどうすればよいのでしょうか??
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数学;方程式への応用
(1)3次方程式x^3-kx+k=0が異なる3つの実数解をもつような、実数kの値の範囲を求めよ。 答えでは、微分して極大値、極小値をもつ時のxの値を求めて、f(√k/3)・f(-√k/3)<0で求めてるんですが、これ以外の回答を詳しくお願いします。 (2)3次方程式x^3-5ax^2+3ax^2+a=0が正の実数解を持つための定数aの範囲を求めよ 詳しくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 偏微分方程式について
∂u/∂t = ∂^(2)u/∂x^(2) (0 < x < L , t > 0) u(0,t) = a , u(L,t) = b , u(x,0) = f(x) ただしa、bは定数であり、Lは正の定数である。 (1)∂u/∂t = 0 を満たす解 u0(x) を求めよ。 (2)v(x,t) = u(x,t) - u0(x) が満たす偏微分方程式および 境界条件を導け。 -------------------------------------------------------------------------- という問いです。 境界条件がu(0,t) = u(L,t) = 0 のパターンならわかるのですが こちらのパターンは全く手付かずです。。。 わかるかたいましたらお願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 微分方程式の問題ですが・・
定数係数微分方程式 y''+ay'+by=0の二つの解u(t),v(t)に対してある定数Cが存在してu'v-uv'=Ce^-atガ成り立つこと証明せよ。と関数 u(t),v(t)のロンスキアンをW(u,v)とする。R上でW(u,v)≡0を満たす一次独立な関数 u(t),v(t)の例をあげよ。なんですがさっぱり・・・。どなたかお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
補足
アドバイスありがとうございます。四次方程式になりました。ただ ru{1-(u/k)}-auv/(1+hu)=0 -cv^2 + {auv/(1+hu)}=0 の式から(u,v)=(k,0)も満たすかなと考えているのですが、 ru{1-(u/k)}-(au)^2/[c(1+hu)^2]=0・・・・(1) の式からは(u,v)=(k,0)がでてきません。(1)はv≠0の時の場合なのでしょうか?