ｎ個のデータが

質問

あるｎ個の観測データ（xi,yi）（i=1,2,3,....,n）がある。
この観測データには次の関係があることがわかっている。
　　　y = ax^2 + bx + c
係数を求める関係式を導出せよ。

という問題なのですが，どのように解けばよいのか見当もつきません。
よろしくお願いします。

回答No.3

sanori · ベストアンサー

かつて、表計算ソフトに二次関数への近似を行う機能がなかった時代、
私は自力でやったことがあります。

これは、いわば、二次関数についての最小二乗法になります。

各データ（xi, yi）の誤差は
εi = axi^2 + bxi + c - yi
と置くことが出来ます。

εi^2 = （axi^2 + bxi + c - yi）^2
Σεi^2 = Σ（axi^2 + bxi + c - yi）^2

ここで、
x1, x2, x3, ・・・・・ xn、および、y1, y2, y3, ・・・・・ yn　は定数、
a, b, c は変数、
と見なすことができます。

Σεi^2　が最小（極小）になるようなａ、ｂ、ｃを求めればよいことになります。
極小ということは、微分がゼロ。
しかし、変数が３つあるので、それぞれの偏微分がゼロです。

Ｖ＝Σεi^2　と置けば、

∂Ｖ／∂ａ　＝　０
∂Ｖ／∂ｂ　＝　０
∂Ｖ／∂ｃ　＝　０

以上のことで、導出のきっかけがつかめると思います。

こちらもご参照。
http://www.st.chukyo-u.ac.jp/hatano/leastsqrshort/kyokusenn/kyokusenn.html

お礼

ありがとうございます！
おかげで解けそうな気がしてきました！

回答No.4

noname#101087

#2 です。

>この問題の応用問題もあります。
>実際に２１個の測定データが与えられ，係数の値を求めるプログラムを作成する問題です。

「最小二乗法による二次式の当てはめ」でも、三元 {a, b, c} 連立方程式 を解くことになるようです。
　　(Mi1)a + (Mi2)b + (Mi3)c = Ni　　　(i=1,2,3)
を解くトレーニングしておくのは無駄じゃないでしょうね。

お礼

何度もありがとうございます！
なんとかやってみます。

回答No.2

noname#101087

「最小二乗近似」ではなく、ピッタリの点集合{xi, yi}ならば、異なる三つのペアから {a, b, c} を未知数とする
連立方程式
　　y1 = a(x1)^2 + b(x1) + c
　　y2 = a(x2)^2 + b(x2) + c
　　y3 = a(x3)^2 + b(x3) + c
をたてて、解けばよさそうです。

でも、ほんとにそういう問題なのでしょうか ?

補足

はい。この問題はこれで間違いありません。
ただ，この問題の応用問題もあります。
実際に２１個の測定データが与えられ，係数の値を求めるプログラムを作成する問題です。

回答No.1

Tacosan

ああ, 問題に条件が足らないですね. 「観測データ」なら一般には誤差を含むので, その誤差に関する処理が必要です. 他に何か書いてありませんか?
まあ, 一般論としては最小二乗とかだろうけど.

お礼

回答ありがとうございました！

補足

スイマセン。
条件は他に指定されていません。
この状態では解くことができないのですか・・・