生成多項式

質問

生成多項式、既約多項式とは何かを教えてください。
あと、擬似乱数係数とは何かも教えてください。
それからできればKASAMI係数とは何かも教えてください。

回答No.2

stomachman

多項式環：
punchan_jpさんの仰る通り、符号理論では多項式の環（多項式環）の性質を利用します。

多項式は可換環(かかんかん。commutative ring）をなすことはご存知かと思います。つまり
　ある集合Aにおいて、任意の元x,y,z∈Aについて
　●足し算(+)についてAは可換群(group)である。すなわち
・x+y∈A,
・x+y=y+x,
・x+(y+z)=(x+y)+z,
・x+a=yとなるa∈Aが唯一つ存在する。
　●さらにかけ算について、
・(xy)z = x(yz),
・x(y+z) = xy+xz,
・(x+y)z = xz+yz,
　である。このようなAを環と言い、さらに、環であってしかも
・xy = yx
　である場合に、Aを可換環と言うのでした。
　「既約多項式」というのは、他の元で割り切れないもののことです。多項式環における「素数」のようなものですね。
　さて、多項式は群でもある。「生成多項式」とは、この群における生成元(generator)のことです。一般に群Gのある部分集合Sがあって、Sの要素s[1],s[2],....を使ってp=n[1]s[1]+n[2]s[2]+.....　　（n1,n2,...は整数）という形に表せる要素だけを集めた集合をQとするとき、Qを「Sから生成された部分群」と言い、Sの要素を「Qの生成元」と言います。
特に、旨くSを選んで Q=Gになるようにできた場合、Sの要素を「Gの生成元」と言います。
　たとえば符号理論では、ありとあらゆる多項式を使うわけではなく、その部分集合がなす群を利用しますので、生成元（生成多項式）を組み合わせて部分群を構成するわけです。

疑似乱数：
　「乱数」は数列の要素の間に全く関連がない、そういう数列です。本当に乱数列を作り出したかったら、自然のランダム現象を観測して使うしかありません。たとえば抵抗器の中の熱雑音をサンプリングするとか。
　これじゃ大変ですし、また同じ乱数列で計算をやり直したい、なんて事になると、全部記録しておかないといけない訳です。それで、アルゴリズムで乱数列を作り出す。もちろん厳密な意味で「数列の要素の間に全く関連がない」という訳には行きませんが、統計的な解析をしても本物の乱数とほとんど見分けがつかないような数列を作る。これが「疑似乱数」です。詳しく研究されており、近年随分進歩しました。
　奥村晴彦「C言語によるアルゴリズム事典」（技術評論社）に具体例が載っていて便利です。

KASAMI係数：
　stomachmanが知っているKASAMI係数に最も近い言葉はsashimi-teishokuです。

お礼

とても役に立ちました！ありがとうございました。これからもよく聞くと思うのでよろしくお願いします。