偶関数と奇関数

質問

隅関数のとき、グラフが対象となり、面積を求めるときに、２∫・・になりますよね。例）ｘ＾４－ｘ＾２
でも、この問題ｘ＾３－ｘは、対称で面積を求めるとき２∫・・と本に書いてありました。ｘ＾３－ｘは奇関数なので、２∫・・にはならいないのではないのでしょうか。
そこのところがいまいちわかりません。

回答No.4

kkkk2222 · ベストアンサー

Ｙ＝（ｘ＾３）－ｘ
＝Ｘ（（Ｘ＾２）－１）
＝Ｘ（Ｘ－１）（Ｘ＋１）＝０
Ｘ軸との交点のＸ座標は、
Ｘ＝－１、０、１
ーーーーーーーー
＜積分の意味＞

∫・・・dx
仮に、dxが＜幅を持つ＞とすると、
棒状の部分＝ｄｘ＊高さ
其の総和が∫高さ＊ｄｘ

□の部分の高さは正→□の部分の積分もは正。
■の部分の高さは負→■の部分の積分もは負。
　　　　□ □　
　　□ □ □ □
□ □ □ □ □ □　　
　　　　　　　　　　　　■ ■ ■ ■ ■ ■
　　　　　　　　　　　　　　■ ■ ■ ■
　　　　　　　　　　　　　　　　■ ■
Ｙ＝（ｘ＾３）－ｘ　を　－１から＋１まで積分すると、
此の関数は、奇関数なので、
□と■が＜打ち消しあって＞結果は、０。
ーーーーーーーーーーーーーーーーーー
＜面積＞

面積を求める場合は、
■の部分が＜負にならないように＞＜調節＞します。

ー１から０まではそのままで正。
０から＋１までは、∫・・・を逆転させて、　ー∫・・・として、正。

さらに、＜奇関数＞での＜面積＞は、
＜逆転させた結果、＞
（ー１から０までの∫・・・）＝（０から＋１までの　ー∫・・・）
（求める面積）＝２（ー１から０までの∫・・・）
　　　　　　　　　＝２（０から＋１までの　ー∫・・・）
つまり、（偶関数と同じ性質）になります。
　　　　□ □　　　　　　　　　 □ □
　　□ □ □ □　　　　　 □ □ □ □
□ □ □ □ □ □｜□ □ □ □ □ □

回答No.3

info22

機械的に積分すると符号がマイナスになります。
積分はグラフの関数値に微小な幅dxの細かな長方形を加えあわせたものですから、関数値が負であれば積分結果が負になります。細かな長方形を大きな積分上限から小さな積分下限まで加え合わせる、つまり積分の上限と下限を入れ替えても、積分結果の符号が反転してしまいます。
この「積分を行って出てきた積分値」と
「実際のグラフ上の領域の面積（面積は常に正で負の面積はありません）」
との関係を正しく認識していれば、
奇関数の積分をそのまま実行していいのか
を判断できるでしょう。
例えば
y=f(x)=x(x-3)(x-1)(x+2)(x+4)とx軸で囲まれる図形の面積の和を求めなさい。といった問題に対しては
S＝∫[x:-4→3]　|f(x)|dx
＝∫[x:-4→-2]　|f(x)|dx＋∫[x:-2→-0]　|f(x)|dx＋∫[x:0→1]　|f(x)|dx＋∫[x:1→3]　|f(x)|dx
と計算しないといけません。つまりf(x)のグラフで負側にある図形はX軸に対称に正の側に折り返した積分をしないと正しい面積は出てきません。

今の場合、f(x)=x(x-1)(x+1)は奇関数ですが、面積を求めるときは
|f(x)|＝|x(x-1)(x+1)|を積分することになります。

|f(x)|＝|x(x-1)(x+1)|はX軸の負の部分を正側に折り返し（符号を変える）ていますから、関数的には偶関数になります。

面積Sは

∫[x:-1→1] x(x－1)(x+1)dx

でが与えられなくて

∫[x:-1→1]　| x(x－1)(x+1)|dx
＝∫[x:-1→0]　x(x－1)(x+1)dx＋∫[x:0→1]　{－x(x－1)(x+1)}dx
＝2∫[x:0→1]　{－x(x－1)(x+1)}dx

で計算しないといけないわけです。
積分と面積との関係を正しく認識しておく必要がありますね。

2本の曲線で囲まれた領域の面積Sは上側の曲線fa(x)から下側の曲線fb(x)を引いたf(x)=fa(x)－fb(x)を積分の下限から上限まで積分することで得られる。
と理解していれば間違いないですね。

絶対値を取るということは結果的に同じになりますが、理解がしにくいかも知れませんね。

-1≦x≦0では
fa(x)＝x(x-1)(x+1), fb(x)＝0　(X軸）ですから
f(x)＝fa(x)-fb(x)＝x(x-1)(x+1)　を積分すれば面積が出ます。

0≦x≦1では
fb(x)＝x(x－1)(x+1), fa(x)＝0　(X軸）ですから
f(x)＝fa(x)－fb(x)＝－x(x－1)(x+1)　を積分すれば面積が出ます。

全体の面積はどちらかの面積を求めて2倍すればいいです。
結果としては絶対値を積分することと同じになりますね。

ゆめゆめ
面積＝2∫[x:0→1]　x(x－1)(x+1)dx
の計算しないようにしないいけません。積分が負になってしまいます。

回答No.2

tarame

これって、グラフとｘ軸で囲まれた部分の面積を求める問題では？

y=x^3-x のグラフはｘ軸と(-1,0),(0,0),(1,0)で交わり、
ｘ軸の下で囲まれた部分（-1≦x≦0）と
ｘ軸の上で囲まれた部分（0≦x≦1）が原点で対称になっているので
面積は（0≦x≦1)の部分を２倍すればよい　ということではないでしょうか。

回答No.1

hagy5217

単純に積分すると、「－」が出てきて合計０となってしまい、面積の合計としてはおかしいので、
正になる部分の２倍で計算していると思われます。