立方体が47個の立方体に分割できない理由

質問

前回質問していくつか解決したのですが、まだわからないことがあるので、再度質問させていただきます。こんな問題です。

立方体をいくつかの小立方体に分割する。ただし同じサイズの立方体がいくつあってもよい。このとき分割された小立方体の個数を分割数と呼ぶことにすれば、非分割数の最大値は47である。

というものです。たとえば参考になるページがこちらです。
http://mathworld.wolfram.com/CubeDissection.html

リンク先にあった文献等を調べたところ、1, 8, 15, 20, 22, 27, 29, 34, 36, 38, 39, 41, 43, 45, 46, および48以上が分割数であり、これら以外は非分割数であることが個別に証明できている、とのことです。したがって、三次元でのこの問題は完全に解かれている、というわけですが、47が非分割数であることがどうしても示せませんし、どこにも証明が書かれていないのです。何かよい方法があったらご教示くださいませんか。

ようするに表題の立方体を47個の立方体に分割できないことを示せ、ということです。

回答No.1

jlglg

難しいですね。
立方体を正方形に変更したとき、
「正方形を異なる小正方形で分割できる」という話は有名です。
でも、これはパズル的扱いのような気がします。

立方体にもどして、1, 8, 15, 20, 22, 27, 29, 34, 36, 38, 39, 41, 43, 45, 46, および48以上が分割数であることは、僕も確かめました。
そのどれもが、「基本的（簡単）」な分割から生成されているように思います。

予想として、「立方体を異なる小立方体で分割できない」気がします。

そして、たとえば、
立方体を４７個の小立方体に分割できたとき、
一番小さな小立方体の１辺を１とすると、他の小立方体の１辺も整数で、元の立方体の１辺は４７以下となる気がします。

もうし、そういったことが示せれば、体積を考えて、

a[0]^3=a[1]^3+a[2]^3+…+a[47]^3

47≧a[0]＞a[1]≧a[2]≧…≧a[47]=1

が成立します。

その自然数解をコンピュータの専門家さんにお手伝いいただき、「しらみつぶし」に探します。

最悪でも47＾47通りを調べればいいです。笑。

解がなければ、４７個の小立方体に分割できないことになります。

解があったとしても、そのような解を元に積み木のごとく元の立方体を作ろうと思っても作れないことを示せばいいです。

個別のアイデアでもっと精密化したほうがいいでしょう。

２や３や４などが非分割数であることは、手計算でもできると思いますが。

お礼

ありがとうございます。まったくその通りで、しらみつぶしをすれば確かに有限時間で答えは出るはずなんですが、あまりに膨大なんですよね。何か空間図形の特徴を使ったようなアイデアが必要に思いますが、なかなか思いつけずにいます。ちなみに2～7が非分割数であることはただちに証明できます。どうするかというと、分割数が2個以上ということは、小立方体の一辺は元の立方体の一辺より真に小さくなくてはならず、そのときすべての頂点は異なる小立方体に属するから、少なくとも8個以上の小立方体が必要である、といった感じです。小さい方の非分割数に関しては似たようなロジックで証明できるんですが、47となるとそうもいきません。