収束の問題教えてください

質問

次の級数がどんな値に収束するかわかりません。是非教えてください。

1+1/2ｘ+1/2＾2ｘ＾2+1/2＾3ｘ＾3+1/2＾4ｘ＾4・・・

私は1/（1-ｘ/2）と思うのですが合っているのでしょうか？自身がないので教えてくださいお願いします。

回答No.5

kkkk2222 · ベストアンサー

＃１です。

＞＞1+(1/2)x+（1/2＾2）ｘ＾2+（1/2＾3）ｘ＾3+（1/2＾4）ｘ＾4

Ｓ＝１＋(ｘ/2)＋（（ｘ/2）＾２）＋（（ｘ/2）＾３）＋・・・＋（（ｘ/2）＾（Ｎ－１））
　＝（１－（(ｘ/2)）＾Ｎ））／（１－(x/2)）

公比は、(ｘ/2)、
｜(ｘ/2)｜＜１
｜ｘ｜＜２
Ｎ→∞　のとき、Ｓ→１／（１－(x/2)）

＞＞私は1/（1-ｘ/2）・・・

正解です。

お礼

無事問題解決しました教えてくださってありがとうございます。

回答No.4

Tacosan

それだと初項 1, 公比 x/2 の等比級数だからその和は 1/(1-x/2).
もちろん収束すれば, ですが. 収束するためには公比が 1未満じゃないとまずいので収束半径は 2.

お礼

よく理解できました、教えてくださって感謝します。

回答No.3

komimasaH

1/(2X)=Yと置くと
与えられた式＝lim（１－Y＾ｎ）/(1-Y)
n→∞
Y<1のときのみ収束して、1/（1-ｘ/2）になります。
つまり、x>1/2という収束条件が必要です。

回答No.2

Tacosan

問題があいまいです. 例えば, 1/2x は 1/(2x) とも (1/2)x とも解釈できます. どちらでしょうか? あるいは項ごとに違う?

補足

1+(1/2)x+（1/2＾2）ｘ＾2+（1/2＾3）ｘ＾3+（1/2＾4）ｘ＾4
ですわかりやすくなったでしょうか？^^;

回答No.1

kkkk2222

1+(1/2ｘ)+(1/(2＾2)(ｘ＾2))+(1/(2＾3)(ｘ＾3))+・・・

S=1+(1/2ｘ)+((1/2ｘ)^2)+((1/2ｘ)^3)+((1/2ｘ)^4)+・・・+((1/2ｘ)^(n-1))
=(1-((1/2ｘ)^n))/(1-(1/2ｘ))

|(1/2ｘ)|<1
|(1/ｘ)|<2
|x|>1/2
n→∞　のとき、S→1/(1-(1/2ｘ))

ちょと違う様。