ピタゴラスの定理に出てくるふたつの不変量の間の関係

質問

ピタゴラスの定理を考える直角三角形の斜辺とそれぞれの残りの辺が作る角度の和はπ／２と一定ですが、この不変量と斜辺の長さを一定にしたときのピタゴラスの定理によって示される残りの２辺の二乗の和が斜辺の二乗に等しいという不変量との関係はどのように理解すればよいのでしょうか。角度が面積に対応しているようにも思えるのですが・・・

回答No.5

mis_take · ベストアンサー

ANo1 です。
三角形ABCの外側に，正方形 BCC1B1,CAA2C2,ABB3A3 をかく。
さらに，ABCと合同な三角形A1B1C1,A2B2C2,A3B3C3 をかく。
正方形BCC1B1の面積は，2つの平行四辺形ABB1A1とACC1A1の和に等しい。
他の正方形についても同様。
平行四辺形ABB1A1はCBB3C3と合同。
平行四辺形ACC1A1はBCC2B2と合同。
ゆえに，正方形CAA2C2+ABB3A3-BCC1B1=平行四辺形ABB2A2×２
したがって
∠BAC＝一定 ⇔ ∠ABB2＝一定 ⇔ (CA^2+AB^2-BC^2)/(AB×AC)＝一定

余弦定理を使ってよければ
∠A＝一定 ⇔ (b^2+c^2-a^2)/(2bc)＝cosA＝一定
というだけのことです。

上の説明の図をかくと，余弦定理の（ピタゴラスの定理を用いない）証明になっています。

回答No.4

Tacosan

とりあえず, 「外接円の円周と三角形の一辺とでできる三日月形の面積は円中心からの各辺に対する角度に比例する」ということはないです. 直角二等辺三角形を考えればほぼ自明.

補足

失礼いたしました。三日月の面積は辺の長さ(辺を一辺とする正方形ではなく）に比例していますね。

回答No.3

ringouri

いまひとつ質問の趣旨がはっきりしません。
「角度が面積に対応しているようにも思える」の面積は何の面積でしょうか？

斜辺の両端の角の和をθとすると、一般の場合に、
c^2=a^2+b^2-2ab・cos(π-θ)
という余弦定理以上の簡単な関係は思いつきません。
直角三角形であれば、(π-θ)=π/2 と制限されるわけで、
θ=π/2 (一定) は不変量というよりも定義そのもののような感じがします。この時、c^2=a^2+b^2 となり、斜辺の長さ(c)が一定の場合は、a^2+b^2が一定となり、これも不変量というよりは、ほとんど前提条件（仮定）と同じことのような気がします。

つまり、前提から直ぐに導ける「不変量」なので、あまり「面白くない」という印象です。

外接円の中心が不動点(斜辺の二等分点)になる[つまり、３頂点は斜辺を直径とする同一円周上にある]、というような言い方のほうが、個人的には、不変量を見つけたような感じがするのですが、これは勿論個人の感じ方に依ります。

お礼

ご丁寧な御教示をいただきありがとうございます。外接円の円周と三角形の一辺とでできる三日月形の面積は円中心からの各辺に対する角度に比例すると思いますが、このことが角度と面積との対応のように思えたのです。

回答No.2

v_mullova

直角三角形でなくても、角度の和は180度ですよ。

補足

直径を斜辺とするような直角三角形という意味でした。

回答No.1

take008

三角形ABCの外側に，各辺を１辺とする正方形をかきます。
∠A が一定のとき，(AB^2+AC^2-BC^2)/(AB・AC) が不変量になることがわかるでしょう。
∠A が直角のときは，値が0なので分母の AB・AC がなくても不変量になります。

お礼

再度の御教示ありがとうございます。御教示を生かして勉強させていただきます。