ピタゴラスの定理において

質問

ピタゴラスの定理について質問です。
直角三角形において３辺の関係はa^2+b^2=c^2となりますが、
逆に３辺の関係がa^2+b^2=c^2の場合、必ず直角三角形になるのでしょうか？
また出来る場合どう証明すればいいのでしょうか？
回答よろしくお願いしますm(_ _)m

回答No.1

edomin · ベストアンサー

もちろん直角三角形になります。
証明は、こちらをどうぞ。
http://contest2002.thinkquest.jp/tqj2002/50027/page183.html

参考URL：

http://contest2002.thinkquest.jp/tqj2002/50027/page183.html

お礼

ありがとうございます。
このページが欲しかったです。
どうもありがとうございました。

回答No.2

inara

計算してみたところ、a^2+b^2=c^2となるのは頂点Cが直角の場合だけで、それ以外は絶対にないですね。

頂点abcに対向する辺の長さをそれぞれa, b, cとします。
頂点Cの角度をθとすれば
c^2=(a-b*cosθ)^2+(b*sinθ)^2 = a^2-2*a*b*cosθ+b^2*｛(sinθ)^2+(cosθ)^2} = a^2+b^2-2*a*b*cosθ　← (sinθ)^2+(cosθ)^2 = 1なので
ですから、a^2+b^2=c^2となるのは、a*b*cosθ=0のときだけです。(aもbもゼロでないのでcosθ=0が条件です。0=<θ<=π(180度）ならば、こうなるのはθ=π/2(90度）のときだけです。

xy座標系で考えるともっと分かりやすいと思います。
点Cを原点に、辺CBをx軸上におけば、３頂点の座標はC(0,0)、B(a,0)、A(b*cosθ,b*sinθ)となります。CB=a、CA=bですから、AB^2 = (CB-CA*cosθ)^2+(CA*sinθ)^2 → c^2 = (a-b*cosθ)^2+(b*sinθ)^2と同じ式になります。

(sinθ)^2+(cosθ)^2 = 1は有名な公式ですが、これも直角三角形の辺の長さの関係なんですね。自分で自分を証明しているようで何か変な感じです。(sinθ)^2+(cosθ)^2 = 1の証明はどうなんでしょうかね？

お礼

ありがとうございます。
三角関数を使うと解けるんですね。
しかし難しいですね・・＾＾；
回答ありがとうございました。