微分について教えてください。

質問

こんばんは。
この問題がまったく分からないのですが、
詳しく解説していただけませんでしょうか。

私の学力レベルは、センターの2次関数ぐらいまでが大体解けるレベルです。
微分に関しては、ほとんどわかりません。
よろしくお願いします。

問題：この関数を二階微分せよ。

y=(1/√2π*α)*e 《 -{(x-m)^2/2α^2} 》

表記の仕方がわからなかったので、少し説明させてください。
* は掛け算の表記として使っています。
^ は二乗の表記として使っています。

さらに、最初の括弧内の分数のあとの e ですが、
本題の表記では、括弧はなく、1/√2π*α という分数のあとに、e が付いています。
1/√2π*α 掛ける e という感じです。。

スレ１の表記の仕方に、括弧を使い分子分母を他の項目と区別できるように表現する、
というものがあったので、間違っているかも知れませんが使ってみました。

また、同様に、数式後半の《 》内の数式も、{ } 内は分数のため、
分数の全体に掛かる - を区別するために、
{ }を用いて見ました。

最後に、数式後半の《 》内に表記してある数式ですが、
本題では小さく右上に書いてあります。
(1/√2π*α)*e という分数の右上に小さく表記してあります。。
（表記の仕方が分からなかったので、《 》内に納めて書きました。）

詳しく解説していただけると嬉しいです。
よろしくお願いします。

回答No.1

zk43 · ベストアンサー

これは確率統計にでてくる正規分布の確率密度関数です。
いろんな文字がありますが、
y=C*exp(f(x))
（C=1/√2π*α(定数)、f(x)=-(x-m)^2/2α^2)
という式の構造です。
y'=C*exp(f(x))*f'(x)
となるのは良いでしょうか？
（合成関数の微分は大丈夫ですか）
f'(x)は二次関数の微分なので簡単にできると思います。
（xで微分するということでいいんですよね）

お礼

お二方に解答していただき、とても感謝しています。

どちらの方にも同じポイントを差し上げたいのですが、
システム上できないようなので、
先に解答いただいたzk43様に高いポイントをいれさせていただきますが、
解答に優劣を付ける物ではありません。。

本当にどうもありがとうございました。

また、引き続き新しいスレッドにて詳しく解答いただけるとありがたいです。

よろしくお願いいたします。

回答No.3

debut

微分のしかたがわからないというのは、どこまで
わかりますか？

(1)y=e^xのとき、y '=e^x、eのべき乗部分にこれ以外の
　関数f(x)が乗っている、y=e^{f(x)}ならば、合成関数
　の微分で、y '={f '(x)}*e^{f(x)}となります。
(2)また、２つの関数f(x),g(x)の積の形、y=f(x)*g(x)
の微分は、y '=f '(x)*g(x)+f(x)*g '(x)となります。

y=ｋe^{f(x)}（ｋは定数）とすれば、
上の(1)より
y '=k{f '(x)}*e^{f(x)}
上の(2)より
y ''=k{f ''(x)}*e^{f(x)}+k{f '(x)}^2*e^{f(x)}
　　=k(e^{f(x)})*{f ''(x)+(f '(x))^2}
です。
ここで、k=1/√2π*α、f(x)=-{(x-m)^2/2α^2}
とみれば、f '(x)=-(x-m)/α^2、f ''(x)=-1/α^2
なので、代入して整理すればいいと思います。

お礼

丁寧に解答いただきましてありがとうございます。
感謝いたします。

微分に関してですが、まったく分からないです。

さらに、私の記載した数式の表記に間違っている部分がある可能性があり、
新しく質問させていただきました。

もし可能であれば、そちらに詳しく解答して頂けませんでしょうか？
（出来れば本題の数式を用いて分かりやすく説明して頂けるとありがたいです。）

解答を見ても分からない部分が殆どですが、
明日、本屋に出向き、教科書を見つつ解答をなぞらえながら
問題の意味を理解してみたいと思います。

大変お手数ですが、よろしくお願いいたします。

回答No.2

zk43

良く見たら２階微分でしたね。
y'=C*exp(f(x))*f'(x)
をもう一回微分すると、
y''=C*exp(f(x))*f'(x)*f'(x)+C*exp(f(x))*f''(x)

積の微分
(f*g)'=f'*g+f*g'
を使っています。

お礼

丁寧に解答いただきましてありがとうございます。
まったく分からなかったので、とても嬉しいです。

正直、ご回答頂いた物を読ませて頂いても、理解しにくい部分があったりします；；

実は、私の記載した数式の表記に間違っている部分がある可能性があり、
新しく質問させていただきました。

もし可能であれば、そちらに詳しく解答して頂くことは可能でしょうか？
（出来れば本題の数式を用いて分かりやすく説明して頂けるとありがたいです。）

大変お手数ですが、よろしくお願いいたします。