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正規乱数
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標準正規分布の密度関数f(x), 分布関数F(x)としたときに Xmaxの密度関数は、N*F(x)^(N-1)*f(x)となることはよろしいかと思います。 ということで、∫(-∞～+∞）Nx*F(x)^(N-1)*f(x) dx を計算・・・ すればよいのですが、F(x)を求めるだけでもわけわかんないので、あとはExcelかプログラムの力をお借りするのがよろしいかと思います。
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- fujeira
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Ｎ→∞のとき、Ｘｍａｘ→∞です。 箱の中にｍ個のボールが入っているとします。ボールには０～ｍ－１の数字が書かれています。ｍとしては大きな数を想定します。 ボールをランダムに取り出す操作をＮ回繰り返したとき、最も数字の大きかったボールの全ｍ個中の順位の平均は、およそ上位１／（Ｎ＋１）になります。 数字が０～ｍ－１の整数でなくて、正規分布に従う乱数が書かれているとしても、この順位は同じです。 いま、ｍがものすごく大きくなったとすると、上位から１／（Ｎ＋１）のところの値というのは、結局、正規分布の上側確率が１／（Ｎ＋１）となるところを求めることを意味します。 つまり、ｆ（ｚ）を正規分布の確率密度関数とすると、 ∫（ｚ～∞）ｆ（ｚ）ｄｚ＝１／（Ｎ＋１） となるｚが、質問のＸｍａｘの期待値となります。
お礼
いや、まあ、確かにそうなんですが、 いちおう目標はNo.2のお礼にも書いたように 「N→∞で、Xmax～log2(N)/2のオーダー」であることを示すことなんです。 たまに見てますのでよろしければ投稿をお願いします。
補足
グンベル「極値統計学」によると、 Xmax～√(2log(0.4N)) になるそうです。 お付き合いいただきありがとうございました。
- fujeira
- ベストアンサー率50% (1/2)
E(max{xi})i=1...N xiは正規乱数 N=1のとき、0 N=2のとき、0.430727596 N=3のとき、0.674490366 N=4のとき、0.841621386 … ではないでしょうか? G(x)：正規分布上側確率関数の逆関数とするとき、 G(1/(N+1))です。 Excelの関数で言うと、 -NORMSINV(1/(N+1)) です。
お礼
N→∞での振る舞いを知りたいのですが、どうでしょうか？
- sen-sen
- ベストアンサー率31% (66/211)
ブートストラップ法でシミュレーションして、その信頼区間を求めるのはいかがでしょうか。
お礼
解析的に出したいのですが・・・ 実際にシミュレーションを行ったところ、 N→∞で、Xmax～log2(N)/2のオーダーのようです。 この式ぐらいは出したいな、と。
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