振り子について

質問

「抵抗を無視すれば紐の長さと錘の重さが等しい振り子はどんな振幅でも同じ周期をとるというのは嘘」というのを見たんですがなぜですか
原理を教えてください

回答No.3

Goswami

「抵抗を無視すれば」という点にひっかかっているようですが、端的に言うと抵抗を無視しようと、無視しなかろうとふり幅（振幅）が大きくなると周期は一定にならないということです。数式で説明するとANo.1さんのようになります。

　以下の話は抵抗を無視した条件下での話です。

　いわゆる振り子運動とよばれる「一度動くと同じ高さまで同じ周期で必ず戻ってくる運動」というのはふり幅が小さいときにしかおこりません。厳密に言うと、一般的にはそのような運動は起こらず、ふり幅が小さいときに限り単振動（周期的に同じ位置に戻る運動。単純な三角関数、つまりサイン、コサインを用いてあらわされる。）として近似できるというわけです。そして、単振動として近似できるときの周期が紐の長さだけを使った式になるというわけです。単振動として近時できないときは単純な三角関数ではあらわすことの出来ない運動となってしまい、周期は紐の長さや重さだけでなくふり幅にも依存してしまうということです。

　一般常識として「振り子＝単振動」として考えられたり、堂々と記述されていることが多いですが、それは間違いです。ふり幅が小さいときに限り成り立つ関係なのです。

　少しだけ理屈を説明しますと、振り子にはふり幅θのとき-１*sinθに比例した力が働きます。一般的に単振動として物体が振舞うときは変位xにたいして-1*xに比例した力が働くときです。振り子の話に戻せばふり幅θのとき-1*θに比例した力が働けば単振動になるというわけです。数学的にはxが小さいときにx≒sinxがなりたつので、ふり幅θが小さいときには-1*sinθ≒-1*θに比例した力が働くと近似できて、単振動として振舞うと考えられるのです。
このときの周期が2π*(糸の長さ/重力加速度）^0.5として表されるということです。

お礼

回答ありがとうございます
単振動の間だけにこれが成り立つのですね