確率

質問

３個の箱Ａ，Ｂ，Ｃが有り、１匹のネズミが１秒ごとに隣の箱へ移動する。
その移動の方向と確率は、
箱Ａにいる時は、確率Pで箱Ｂに移動する。
箱Ｂにいる時は、確率Pで箱Ｃに移動する。
また、確率１－Pで箱Ａに移動する。
箱Ｃにいる時は、確率１－Pで箱Ｂに移動する。
ｎ秒後にネズミが箱Ａ，Ｂ，Ｃにいる確率をそれぞれAn、Bn、Cnとする。
ただし、ｎ＝０の時ネズミは箱Ａにいるものとする。
また、０＜P<1とする。

（１）An,Bn,CnをAｎ_1、Bn_1,Cn_1およびPを用いて表せ。

（２）An+1＋αAn＋βBn_1＝γ（ｎ＝１，２，３、…）とするときα、β、γ、をPの式で表せ。

（３）P＝１/２の時、自然数ｍに対して、A2nを求めよ。

なんですが、これもサッパリわかりません…

回答No.3

age_momo

分かりにくいのでそれぞれをA[n],B[n],C[n],A[n-1]という風に書きます。

(1)はA[n],B[n],C[n]をA[n-1],B[n-1],C[n-1]で表せという事ですね。
確率の漸化式は確率を考える上で非常に大事なのでしっかり式を作れるようになりましょう。

練習の意味で少し問題を書き換えます。

今、コップA,B,Cに[n-1]の時にA[n-1]リッター,B[n-1]リッター,C[n-1]リッター入っているとして
Aの内、1/3をBに入れる、Bの水は1/3をCに、2/3をAに入れ、Cの水の2/3はBに入れると
したらそれぞれの水はどれだけになるか？
Aは元々入っていた水の2/3とBから2/3がきます。Bは入っていた水はA,Cに出て行きますが
A,Cからそれぞれ1/3と2/3やってきます。Cも元々Cに入っていた量の1/3とBから来る水が
入ります。とすればA[n],B[n],C[n]はA[n-1],B[n-1],C[n-1]で表せますね。
後は1/3,2/3としたのをP,(1-P)に戻せばいいですよ。

(2)以降は問題を正確に書いていますか？とすると問題の意図するところが分かりませんが
先に出した3つの等式とA[n]+B[n]+C[n]=1を使えば出せると思います。
問題を解いていくと分かると思いますがこのA[n]+B[n]+C[n]=1を使うと
A[n]はC[n-1]の式に、C[n-1]はA[n-2]の式に変形できますので結局、
A[n]はA[n-2]の式に変形できます。なのでA[2m]の一般項が出せます。

補足

（２）An+1＋αAn＋βBn_1＝γ（ｎ＝１，２，３、…）とするときα、β、γ、をPの式で表せ。
（３）P＝１/２の時、自然数ｍに対して、A2nを求めよ。
ではなく
（２）An+1＋αAn＋βAn_1＝γ（ｎ＝１，２，３、…）とするときα、β、γ、をPの式で表せ。
（３）P＝１/２の時、自然数ｍに対して、A2ｍを求めよ。
でした。

回答No.2

Nao_F

問題はこれで正しいですか？
たとえば、箱Ａにいるとき、１秒後に確率Ｐで箱Ｂに移動するのだとすると
残りの１－Ｐはどこに行く確率なのでしょうか？
Ａ、Ｂ、Ｃは横一列ではなく三角形に並んでいて、残りの１－ＰはＣに移動する確率、ということでしょうか？

補足

Ａ、Ｂ、Ｃは横一列に並んでいて、AとCは端になるためBにしか移動できません。

回答No.1

cafe_au_lait

とりあえず、A1,B1,C1、A2,B2,C2、・・・と考えてみると、何かひらめくかも。