もう１人が男である確率

質問

ある雑誌のこの設問で意見が対立しています。

「あるタレントに隠し子が２人いることが発覚！
１人は女の子。もう１人は男女どちらの確率が高いか？」
A.男　
B.女　
C.確立は半々

答えはもちろん「C」と思いきや、なんと「A」だというのです。
その理由は「すでに２人いる子供の男女の組み合わせ」は１.女・女　２.女・男　３.男・女　４.男・男
となりすでに１人は女なので可能性があるのは
１.女・女　２.女・男　３.男・女　の組み合わせになる。つまりもう１人が男である確立が３分の２だから、正解はA。

最初はこの答えに納得できなかったのですが、しばらく考えて確かにそうだと思いました。
でもあくまで違う、確率は５０％と主張する方がいてそれに反論もできずにいます。

果たして真実はどちらなのでしょうか？
納得できる理由も書いてもらえるとありがたいです。

回答No.35

stomachman

ANo.19　stomachmanです。

　「特定」「不特定」という言葉を使った議論が沢山出ていますね。
　「少なくとも一方が女」という表現を、「少なくとも一人不特定の女がいる」という意味に解釈しろ、って主張がなされている。ただし、「不特定の」とはどういうことかというと、「たまたま記者が見た方（姉か妹かは分からない)」「たまたま応対に出て来た方（姉か妹かは分からない)」であっても「特定の女」に該当し「不特定の女」ではない、と解釈する。

　ならば、男-女の組み合わせの場合に、単に「女がいる」と言ったらどうなるでしょうか。
　この場合、「女がいる」と言うときの「女」という単語が指すその女は、姉か妹かは分からないけれど明らかにひとりしかいないその「特定の」女じゃありませんか。
　となると、「少なくとも一人不特定の女がいる」が真になるのは女・女の組み合わせのときだけであり、従って「少なくとも一人不特定の女がいる」のが確かであれば、もう一人は100%女である！と結論できましょう。

　この議論に対して、もし「こんな変な結論になるのは、もちろん『特定の』という言葉の解釈が間違っているからだ。男-女の組み合わせの場合に『女がいる』と言ったって、それは『特定の』ではない」なんて主張したら、そりゃどこぞの宗教のような循環論法（オレの答が正しくなるように解釈するのを正しい解釈と言う。で、正しい解釈をすれば、オレの答はほら正しい）だと批判できるでしょう。
　一方、同じ議論に対して「『少なくとも一人不特定の女がいる』のが確かであるとき、『もう一人は100%女である！』とは言えない。なぜなら、そう言った途端に『もう一人』の女は『不特定の女ではない方』として確かに特定されているではないか。すると、初めの『不特定の女』も『その【もう一人】ではない方』として特定される。だから、『不特定の女』など居なくなるじゃないか！」という（スコラ哲学風？）反論をして、混乱に拍車を掛けることもできるでしょう。（様相論理の問題だと思って、この線も発展させてみたいところですが。）

　結局、「少なくとも一人不特定の女がいる」という表現は（少なくとも一階述語論理の）命題にはなっていない、「特定」「不特定」という言葉は恣意的に（都合に合わせて）解釈できてしまうので避けるべきだ、と考えるのが安全だろうと思います。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
　「特定の」「不特定の」なんて混乱を招く言葉を使わなくたって、正解が「A.男」だと仰る皆さんの主張は：

　「隠し子が二人いて、少なくとも一方が女」という表現を【数学の問題として】解釈するなら、隠し子の集合をXとして、
|X| = 2 ∧ ∃x(x∈X ∧ 女(x))
と、単にそれだけである、ってことでしょう。
　さらに、男女が同確率で生じ、第一子と第二子の性別は独立だ、という確率モデルを考える。その上で、「少なくとも一方が女」という条件下で「女と女の組み合わせ」の確率pを求める。すると、p = 1/3。
ってことですね。尤もだと思います。確かにフツーに考えればこうなるでしょう。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
　ところが同じ問題を、【(科学のような）観測の問題として】捉えて、すなわち「少なくとも一方が女」という情報が天下りに与えられたものではなく、観測によって偶然得られたものだと考えると、話は違ってきます。で、ご質問の場合、「タレントに隠し子が発覚」したスクープの話であるのなら、そりゃ観測によって得られた情報だと思うのが普通かなと思いましたんで、その事も明示した上でstomachmanはANo.19を書いたんです。

　さて、「記者が見たのは女」という観測結果を「少なくとも一方が女」と抽象化し、さらに観測のことを忘れて（ってことは、これによって幾分か情報を捨てた訳です）「少なくとも一方が女」という情報が天下りに得られたものだと思うことにすると、上記の【数学の問題として】の推論によって、他方が女である確率は1/3になります。四つの部屋があるアパートの問題でも同じ事です。

　つまり、

偶然の観測結果として得られた情報と、天下りで与えられた情報との間には大きな違いがある。その違いは「偶然の観測結果として得られた」という情報にある。

この認識が、この場での（ご質問の直接の回答ではないけれども）最も重要なポイントだろうと思います。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
　ですから、これは「問題文（日本語）の解釈談義」そのものが本質的なんです。早い段階から何人もの方が指摘なさっているように、「問題文に『少なくとも一方が女だという情報がどのようにして得られたのか』が明示されていたのかどうかも、はっきりしない」というのがご質問の悩ましい点ですね。なので、ご質問の内容だけからAとCどっちが正解と言い切るのは、フェアじゃないと思います。

　もし、元の雑誌の問題文に「少なくとも一方が女だという情報がどのようにして得られたのか」が一切書いてなかったのだとすると、おそらく雑誌の出題者は「おれは『少なくとも一方が女』としか言ってないぞ。だから天下り情報だ。従って、正解はA.男である」と主張するだろうと思います。しかし、それでもスクープの話にするのは迂闊でしょう。昔からあるような、トランプの話だとかドアの後ろにあるものを当てる話にしておけば曖昧さはないだろうに。
　出題者は「いくら雑誌のパズル欄であっても、問題文は【数学の問題として】解釈されるに決まってる」というような思い込みに注意すべきだったかも知れません。

　ま、おかげでおもろい話になって楽しめてるわけで～

お礼

あらら、哲学までひろがっちゃった。
回答ありがとうございます。