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極限の証明
larme001の回答
それでもいいとはおもいますが、前で質問されているような部分をきちんと理解しているのかが怪しい記述ではあります。 n→∞のとき を考えるときは、あくまでそれに近づく”極値”ですから、∞とか0とか数字計算のようにするのは本当は危険なんです。 たとえば、3n/n^2→∞/∞=1とは出来ません。これは分子分母のそれぞれの関数がn→∞に変化したときの変化の度合いが異なるからです。つまり、極限の場合は、部分的に極値をとってそれらを掛け合わせるというより、同時に変化していくときにどうなるか?というような感覚で捕らえなければいけません。 さて、質問の例で言えば、-1≦sinα≦1が常に成り立つのは当然だから、両辺に1/nをかけて、-1/n≦(1/n)sinα≦1/n が成立します。ここまでの過程でnが∞だろうかなんだろうが、まだ無関係です。 ここではじめて、n→∞にもっていきます。すると両辺は文句無く0荷収束しますので、ここで、「はさみうちの原理」が成立するのです。 質問さんの考え方でいくなら、n→∞のときに X=sin()はいくらか分からないけど-1≦X≦1を満たす定数ですよ。ということがいえるなら、 X/(n(n→∞))=0といえますということです。厳密にはここでもXの最大値が、n,n→∞よりも小さい(X(max)=1より)ということがいえるので、、、二歩かなりません。ようするに結局は、はさみうちをつかっていることには変わりはありません。
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