ベクトル成分に単位はあるのか？

質問

ｘｙ座標で１目盛りを１ｋｍと考えたとき

Ｖｋｍのベクトル成分が（a,b)とすると

Ｖ= a*(xの単位ベクトル)+b*(yの単位ベクトル)
と表せますが、

この場合ｋｍという単位は
a,b　のほうに付くのでしょうか、それとも単位ベクトルのほうにつくのでしょうか？

単位ベクトルのほうに付くのであればベクトル成分に単位はないと考えていいのでしょうか？

よろしくお願いします。

回答No.1

y_akkie · ベストアンサー

>ｘｙ座標で１目盛りを１ｋｍと考えたとき

>Ｖｋｍのベクトル成分が（a,b)とすると

>Ｖ= a*(xの単位ベクトル)+b*(yの単位ベクトル)
>と表せますが、

式を見る限り、単位を持っている方は単位ベクトルの各成分の
方ではないかと考えられます。a,bは単に比率を表すものなので
おそらく単位は持たないでしょうね…。

よって、xの単位ベクトルEx(1[km],0[km])、yの単位ベクトルEy(0[km],1[km])と表され、

V = a*(1[km] , 0[km]) + b(0[km] , 1[km])
を計算すると、
V = (a*1[km] , a*0[km]) + (b*0[km] , b*1[km])
V = (a[km],b[km])といった形になるのではないでしょうか。

また、|V|^2 = (aEx+bEy)^2 = (a^2(Ex)^2 + 2abExEy + b^2(Ey)^2)
ExEy = 0より、|V|^2=a^2|Ex|^2 + b^2|Ey|^2という関係式が得られ、
|V| = √a^2|Ex|^2 + b^2|Ey|^2であり、|V|,|Ex|,|Ey|は大きさを
表し、当然[km]の単位を持つので、ここでa,bがkmの単位を持ってしまうと、|V|はkm^2になってしまうことからもa,bは単位を持たない事が言えま
すね…。

あまり自信はありませんが…。

お礼

解答ありがとうございます。
なるほど、ｋｍは単位ベクトルのほうにつくみたいですね。

丁寧に証明していただきありがとうございます。

回答No.2

mis_take

たとえば，2つのベクトル u=(2km,4km)，v=(3km,6km) を考えると u=(2km/3km)v=(2/3)v です。
(a,b) のa,bには単位がついているが，a(1,0)+b(0,1) のa,bには単位がついてないのだと思います。

お礼

解答ありがとうございます。

ベクトル成分を(a,b)で表示するか
a*(xの単位ベクトル)+b*(yの単位ベクトル)で表示するか
によってベクトル成分に
単位をつけるかつけないかが変わるのですね。

貴重な意見ありがとうございます。