最大公約数の証明

質問

a,b>1の時、gcd(a,b)=dならばgcd(a^2,b^2)=d^2となるのを説明せよ。
っていう問題で、説明の仕方がわかりません。

aが例えば２＊３＝６で、ｂが２＊３＊３＝１８だとすれば公約数は２＊３で、aとbを２乗すると２＾２＊３＾２と２＾２＊３＾４になって共通なのは公約数の２乗になるからって・・・説明にもなってないようなことしか思い浮かびません・・・。

よろしくおねがいします。

回答No.1

misan007 · ベストアンサー

aとbに１以外の共通の約数がはいっていないとき、
gcd(a,b)=d=１となって
a^2とb^2にも共通の約数はないので、
gcd(a^2,b^2)=d^2=１

gcd(a,b)=dなので
a=a'×d
b=b'×dと書ける。
（a'とb'には共通の約数がない。）
a^2=a'^2×d^2
b^2=b'^2×d^2
するとa'とb'それぞれ２乗しても共通の約数はないので
最大公約数はd^2となります。

お礼

簡潔でわかりやすい説明をありがとうございます！！
とても参考になりました。