- ベストアンサー
sinに関連して
sin(n)（nは自然数）は[-1,1]にどのように分布するか？ あるいは、単位円周上に点を弧度を１ずつ増やしてとっていくときに これらの点は単位円周上にどのように分布するか？ という問題なのですが・・・ 確か、昔何かで稠密だというのを見たような、かすかな記憶が あるのですが、考えたり調べても良くわかりません・・・
- みんなの回答 （3）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
その他の回答 (2)
- age_momo
- ベストアンサー率52% (327/622)
＞単位円周上に点を弧度を１ずつ増やしてとっていくときに ＞これらの点は単位円周上にどのように分布するか？ 逆に円周1の円を考えると円周において1/(2π)ずつ増えることになります。 1/(2π)は無理数ですから、この増加 θ[t+1]=θ[t]+1/(2π) (mod1) の稠密性はヤコビの定理、 一様性はワイルの定理で保証されます。 この稠密性と一様性は2π倍しても変わりませんから、 単位円上での存在は稠密かつ一様となると思います。 ただし、これを sin(n) とした時はsinの連続性から稠密性は残るでしょうが、一様性は無くなると思います。
補足
どうもありがとうございます。 ネットで調べてみたら、確かにヤコビの定理で稠密性が、 ワイルの定理で一様性が保証されるとの記述があるのを 見つけましたが、証明は書いてませんでした。 サイトか本などで、証明が載っているのをご存知でしょうか？ 数論的な幾何の本も探してみようと思っているのですが・・・
- grothendieck
- ベストアンサー率62% (328/524)
関連するQ&A
- π(円周率)ってなんなんですか？
円周を直径で割った数なのはわかりますが、これではその割った数がなんなのかなどが全く分からないです… また、この円にn角形(nは任意の自然数)を入れると円周率が求められるのはなぜでしょうか？ n角形に円周なんて存在しませんのに
- ベストアンサー
- 数学・算数
- sin(θ1 + θ2 + θ3)を求める問題
tanθ1 = 1 , tanθ2 = 1/2 , tanθ3 = 1/3, 0<θi<π/2 (i=1,2,3) とするとき、 sin(θ1 + θ2 + θ3)の値を求めよ という問題で、 答えは１のようです。 sinθ1 = 1/√2 sinθ2 = 2/√5 ・・・ とだしていってみて、 sin(θ1 + θ2 + θ3)＝1/√2 + 2/√5 + 3/√10 としましたが１にならず・・・ 甘いということなんでしょうか・・。 過程のアドバイスお願いします・・・ あと先日投稿した問題で、 問題が・・・平面状の点（x.y）が単位￥上を動くとき、15x^2 + 10xy - 9y^2 の最大値と最大値を与える点Ｐの座標を求めよ。ただし、単位演習とは原点を中心とする半径１の円周のことである。 ・・・で、答えはＰ（5/√26 ,1/√26）または Ｐ（-5/√26 ,-1/√26）のとき最大値１６ の回答をしてくださったspringsideさんの回答の中で、 与式が最大になるのは、sin(2θ+α)=1のときで、最大値は13+3=16である。 このとき、2θ+α=π/2なので、θ=(π/4)-(α/2)となり、このθをx=cosθ、y=sinθに代入すれば、x,yの値が判る（sin(α/2),cos(α/2)が必要になるのでちょっと面倒かも。） という最後の「2θ+α=π/2なので、θ=(π/4)-(α/2)となり」がわかりません・・・。最初の過程は問題ないのですが。 あとtake_5さんは別の方法で、 cos2θ＝a、sin2θ＝bとします。 そうすると、a＾2＋b＾2＝1のとき、k＝12a＋5b＋3の最大値を求める問題に帰着します。 これは、ab平面上で直線：k＝12a＋5b＋3が、円：a＾2＋b＾2＝1に接するときであることは直ぐ分かるでしょう。 それ以降は、簡単と思います。 ごめんなさい。しばらく数学を離れていたためか正解に近いらしきヒントを与えてもらったにもかかわらずこれも「それ以降は」のあと鉛筆が動きませんでした。助け願います・・・
- ベストアンサー
- 数学・算数
- sinΘ、cosΘ(ここではsinΘ)が連続であることを以下のように定
sinΘ、cosΘ(ここではsinΘ)が連続であることを以下のように定義して示しました。 もし、sinΘ(0≦Θ≦2π)がΘについて連続であることをε-δ論法で教授に示してと言われたら以下の方法で 十分大丈夫ですよね？確認のためお願いします。 <証明> 単位円上1点Pを任意にとってOPとx軸の偏角をΘ(ただし弧度法)としてPの座標を(sinΘ,cosΘ)としてsinΘ,cosΘを定める。(0≦Θ≦2π) 単位円と正のx軸との交点をAとおくとさらにΘは弧PAの長さに帰着できる。 すると(グラフないのは申し訳ない) 偏角変数Θ,hを0≦Θ,h≦2πで任意に与えると図から |sinh-sinΘ|≦|h-Θ|であることがいえる(等号はh=Θときのみ)。これをもとにして今ε-δ論法で示す。 任意のε(>0)に対してあるδ1>0が存在して(δ1=ε/2として) |h-Θ|<δ1=ε/2⇒|h-Θ|<ε は成立するので |h-Θ|<δ1(=ε/2) ⇒|sinh-sinΘ|≦|h-Θ|<ε⇒|sinh-sinΘ|<ε が成り立つ。よって sinΘはどんなΘ(0≦Θ≦2π)にたいしてもΘで連続。 cosΘも今と同様な方法で示せば連続である。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 【問題】∫[0～π]|a*sin(nx)+b*cos(nx)|dx （
【問題】∫[0～π]|a*sin(nx)+b*cos(nx)|dx （ただし、nは自然数とする。） 合成をして考えてみたのですが＾＾； できません… どうしたらいいでしょうか？？ よろしくお願いします＾＾
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 偏微分の問題です。
偏微分の問題です。 nを4以上の自然数とし,ｎ次元ユークリッド空間の部分集合Cを以下で定義する。 C={(x_1,・・・・,x_n);sin(πx_1)+....+sin(πx_n)=0,sin(πx_1)+sin(2πx_2)....+sin(nπx_n)=0} このとき原点(0,...,0)の適当な開近傍において,x_n-1,x_n が x_1,x_2,...x_n-2の関数として あらわせることを示せ。 という問題です。次の小問としてその関数を偏微分せよとあるので,ある程度具体的な形であらわすのだと思うのですが わかりません。 よろしくお願いします。 πは円周率のパイを表します。見にくくて申し訳ありません。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 図形の対角線について質問です。
図形の対角線について質問です。 問題 １つの円周上に、等間隔に並んだ点が N個あります。 このN個の点を結ぶ線を書いたとき、その線の数は２７６本になりました。 点の数は いくらだったのでしょうか？ この問題を解くときの途中式がよくわかりません。 n角形の対角線の本数は(n-3)n/2でもとめられるから、 (n-3)n/2＝276となり、整理すると 2×{n(n-3)n/2＋n}＝2×276 となるらしいのですが、＋nとはなんでしょうか？ 私はこのように計算したのですが、違うようでした。 (n-3)n/2＝276 両辺に2をかけて (n-3)n＝552 n^2-3n-552＝0 しかし、因数分解した値が自然数でないので答えになりません。 どうかご教示お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- テイラー展開に関する問題です。
zを複素変数とし、f(z) = cos 2z - sin z とする。 (1) f(z) のz = 0 を中心とするテイラー展開を求めよ。 (2)Cを原点を中心とする半径１の反時計周りの円周とし、nを自然数とする。このとき次の積分の値を求めよ。 ∫c {f(z)/z^n} dz *************************** 複素関数論でテイラー級数、ローラン級数、特異点、留数、複素積分 などを用いている問題らしいのですが、よく分かりません。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ＜三角関数＞単位円の周上に点を取る問題
「単位円周上の3点 P（cosθ、sinθ）、Q（cos２θ、sin２θ）、R（cos4θ、sin4θ）を考えるとする。 θが0°から360°まで動くとき、PQ^2＋QR^2がとる値の範囲を求めよ。」 この問題は図示したあと、PQ^2とQR^2は2点間の距離の公式を使えるのでしょうか？ また、sin4θやcos4θなどは、どのように変形していったらよいのでしょうか？ 教えていただけませんでしょうか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
ふたたびありがとうございます。 フーリエ解析大全は大変詳しい本のようなので、 調べてみようと思います。 無理数のn倍の小数部分は[0,1]に一様に分布するが、 n乗の場合は解決されていないなど、実に基本的（？） なことも分かっていないんだなと、驚きです。 しかし、無理数のn倍の小数部分で0に収束する部分列が 作れるなんて非常に不思議です。 また、何かの機会にお願いします。