真偽の判定方法

質問

次のような問題があります。

(1)彼は以前と同じ程度に忙しい。
True or False (2)彼は以前より忙しくはない。

この問題の答はTrueでしょうか、Falseでしょうか。

実は、英語のカテでこの問題が提示され、次の(a)、(b)の2つの意見があって混乱しています。
(a)「以前と同じ程度に忙しい」（＝(1)）のなら明らかに「以前より忙しくなってはいない」ことになる。「以前より忙しくなってはいない」は(2)と同じである。だから、(1)と(2)は同じである。だから、Trueである。
(b)「以前より忙しくはない」（＝(2)）は、「以前と同じ程度に忙しい」（＝(1)）と「以前より暇だ」の両方を含む。つまり、(2)は(1)以外の物も含む。だから、(1)と(2)は異なる。だから、Falseだ。

英語の専門家は数学の「真偽」の問になれていないため混乱しています。素人にも分かるように「真偽」の判定方法の原理なども含めてやさしく解説いただけると幸いです。
なお、参考までに英文の問題は下記のとおりです。
"He is still working at the company as busily as before."
True or False: He is not busier than before.

回答No.17

noname#114795

英語のカテが締め切られていたのでこちらに来て見ました。
最初から英語のスレッドを読むと、混乱の原因は、A->B　という流れに、A<-Bも言えるかという論理上の同値の概念を持ち込んだ誤りが原因と考えます。言わば、「牛刀をもって鶏を割く」の類でしょう。

問題は、単に、A->B を問うているだけです。
結論は　TRUE としか言えません。ちなみに、英語の原問題で true or false と訊かれているので、数学がお得意な方は、一見、論理学の問題と錯覚されたのが原因でしょう。
ご質問者も「真偽」という特殊概念の問題と解釈されることなく、Yes or No という設問として考えることをお勧めします。英語の世界では、True/False と言えども論理学の文脈で表現しているとは限りません（むしろ稀です）。

回答No.16

vegan

No. 14 です。お礼を読んでやっと気付いた事があります。

＞True or Falseはたいへん短い問題文で、出題者の意図するところが充分には言い尽くされてないように思います。＜

True or False の問題は、短い問題文でも**本来なら**同値を問う質問ではないというのは、言葉の意味を考えても、確かな事なのです。これは、私の意見ではなく、本当にそうなのです。

どなたかが物の値段を例にされましたが、

A) This book costs $50.
B) The price of this book is less than $100.

Is (B) true? 答えは明らかに true ですね。

それなのに、日本では違って解釈される事がある、と言う事が今回の質問で分かりました。ただ、よく分かっていなかったのは、出題者が間違った解釈をしている場合はどうしたら良いのか、という問題があると言う事です。yoohoo_7さんは、この事も含めておっしゃりたかったのですね。

いろいろ勉強させてもらい、有り難うございました。

お礼

再度の御回答有り難うございます。
広い見地からの御懇切かつ御厚意溢れる回答を頂き、厚く御礼申し上げます。
この英語の問題に正解を出すためには御指摘のような問題も確かにあると思います。ほかにも検討すべき点がいくつかあるかもしれません。
今少し時間を頂戴したいと思います。

回答No.15

lick6

#5です。
もう解決していたら申し訳ないのですが、
>「以前より忙しくない」ではなく「以前より忙しくはない」なのです。つまり、「以前と完全に同じまたは以前より暇」なのです。
との回答を頂きましたが忙しさの大小を比べると
「以前と完全に同じまたは以前より暇」⇔「以前 = 今 or 以前 > 今」
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⇔「以前 ≧ 今」
ということになります。
(1')で 「以前 = 今」
と述べているので答えはTrueとなります。
つまり、以前の忙しさをとりあえず 6 として、比較する今のを A とすると
A = 6 ならば A ≦ 6 は正しいか誤りか？
と聞かれたら当然Trueとなりますよね。

お礼

再度の御回答有り難うございます。

>「以前と完全に同じまたは以前より暇」⇔「以前 = 今 or 以前 > 今」⇔「以前 ≧ 今」ということになります。(1')で 「以前 = 今」
と述べているので答えはTrueとなります。

御懇切な説明をいただき、よく分かりました。
やはり、数学の専門の方から見て、この問題は(1)と(2)が同値かどうかを問う問題ではなく、(1)が(2)の十分条件であるかどうかを問う問題だということですね。
数学の御専門の方のいわゆる感覚あるいは常識というのが分からず困っておりましたが、それをお教えいただきそうなのかと思いを新たにしています。貴重な御教示、有り難うございました。

回答No.14

vegan

英語のカテからやって来ました。当の質問者です。（オリジナルの質問は、別の方がなさりましたが）

yoohoo_7さん、こちらで聞いて下さって、有り難うございました。こちらでの回答を見ていて、どうして false という答えが出るのか、分かりました。ですので、向こうでの質問は結論を出し、締め切りました。が、こちらでのやり取りでちょっと気になりましたので、一言コメントさせて下さい。

true or false は、同値を問う質問ではありません。この問題方式は、英語のクラスでも一般的に使われていてもおかしくないと思います。（私は、アメリカに住むようになった最初の１年は、英語のクラスばかりとっていましたが、この形式の質問はよく見かけた記憶があります。）ですので、特に元の質問をされた方も、そのお友達であるALTの方も、在米長い私も、アメリカ人である夫も、問題なくTrueだと答えを出したのです。（ALTの方が、実際そうかどうかは、元の質問にははっきり書かれていませんが、先生がfalseという事を正解とした為、疑問に思って元の質問者さんにメールをしたのだととりました。）

ちなみに、true or false は、「(1)ならば(2)か」を問う質問です。ですので、答えは、true です。これは、こちらの回答を拝見した後で、やはりこの解釈で正しかったと確認出来ました。

数学に関係ないコメントで申し訳ありません。

参考URL：

http://okwave.jp/qa2672196.html

お礼

御丁寧なコメントを頂き有り難うございます。

True or Falseはたいへん短い問題文で、出題者の意図するところが充分には言い尽くされてないように思います。そのため出題者の意図をどのように汲み取る取るかというところに議論は尽きると思いますが、今後同様の出題があった場合を考えると、我々解答者の側の意見の正当性を主張することのみでは問題は解決せず、結論は慎重を要すると思っています。

回答No.13

noname#101087

#3 です。

>次のように考えられるということでしょうか。
>(a)この問題は(1)と(2)が同値であるかどうかを問う問題である。
....yes.

>(b)(1)は、以前と同じに忙しい、ということである。
....以前よりも忙しい、ということだと思ってました。

>(c)(2)は、以前と同じに忙しいまたは以前より暇、ということである。
....yes.

>(d)したがって、(1)と(2)は同値ではない。
....yes.

>(e)したがって、Falseである。
....yes.

まあ、当方の英語力じゃ偉そうなことは言えませんがネ。
ほかにも読みかたがあるのでしょうか？

お礼

思いもかけず多くの皆様から御回答を頂戴し有り難うございます。この欄をお借りして御回答いただいた皆様に厚く御礼申し上げます。

私は最初にこの英語の問題を読んだとき、これは同値かどうかを問う問題だ、したがってFalseだと思いました。その理由はTrue or Falseという英語では余り見られない問題文の形式にありました。このような問題文はきっと数学の素養のある方の出題によるものに違いない、ということは一般的に(1)は(2)の十分条件かどうかを問う問題であるはずがない、と思ったからでした。ある意味では賭だったかもしれません。

ちなみに、正解はFalseであるとのことです。おそらく、出題者は何のためらいもなくFalseとされたのでしょう。

しかし、皆様の御回答を頂戴し、 「同値かどうかを問う問題である」 以外の解釈も可能であること、数学の観点から見ても題意に曖昧さの残る問題であること、などたいへん多くのことを勉強させていただきました。

御回答いただきました皆様にあらためて厚く御礼申し上げます。
有り難うございました。

補足

御回答をいただき有り難うございます。
そのような解釈以外にこの問題文をどのように読めるのかとの御判断かと存じます。たいへん明確な御意見を頂戴しました。
有り難うございます。

回答No.12

y_akkie

#8です。論理学の分野の基礎が分かって頂いて、嬉しい限りです。
これは、論理学という学問の世界だけでなく、日常生活でも論理的思考
は欠かせませんから、お役に立つ事には間違いないでしょう。

ここで、自分がこれまでに述べた意見について、もう一度、別の観点から述べたいと思います。

まず、あなたは、以下のような情報を目にしたとします。

「商品Aは300円で売られている」

そこで、知らない人から、「商品Aは１０００円以下ですか？」
と聞かれた場合、どのように答えますか？
もし、あなたがNoと答えた場合は、それを聞いた相手は、
「商品Aは1000円以下でないとしたら、1000円よりも高いと
いう事か…」というように判断されてしまうわけです。
これは明らかにおかしいですよね。
だから、あなたは、まず、「はい」と答える必要があるわけです。
これが、Trueに当たるわけですね。
そして、さらにあなたの親切心から「商品Aは1000円以下です
が、じつは300円なのですよ」と答えますね…。

以上のことを踏まえて、質問内容の場合に置き換えると、

(1)という英文を読んだ上で、問題作成者は
(2)ですか？と聞いている状況だと想像して下さい。

すなわち、問題作成者は、問題を読んだあなたに質問をする
立場に立っているわけですね。
という事は、(1)である「以前と同程度に忙しい」という英文を
読んだあなたは、問題作成者に「以前よりも忙しくないか？」
という質問に対してYesかNoかを答える立場に置かれている
と考えられるわけですね。それがTrue or Falseに当たるの
ではないでしょうか？
そこで、あなたが、もし、Falseと答えてしまったら、問題
作成者は「という事は、以前よりも忙しいという事か？」
というように受け取られるでしょう。そして、問題文には
「以前と同程度に忙しい」と書いているのに、「以前よりも
忙しいとはどういうことだ」といった感じで、×になって
しまうのではないでしょうか。よって、問題作成者側の立場
に立てば、英文を読んだあなたに対して、(2)の事柄が正しいか
どうかを質問されている側の立場になって、True or Falseの
判定をするべきなのではないでしょうか？

だが、問題文に、「英文と一致している内容のものを選べ」
と指示されている場合は、おそらく、(1)と(2)とが同じ内容
のものでなければならならないと思います。その事から、
このようなケースの場合、(1)と(2)とは同値ではない事から
明らかに(1)と(2)とは違う内容のものなので、選択して
はならないかと思います。

お礼

再度の御回答有り難うございます。
また、分かりやすい例をお示しいただき有り難うございます。数学のような理論の分野の方も、このような卑近な例をお考えになるのかと意外な感じも致しました。
また、末尾の注意事項も身にしみます。
有り難うございました。

回答No.11

y_akkie

#8です。再度ご質問が出たようなので、お答えしたいと思います。

その前に、He is not busier than before.の訳し方について、
考えてみると、「彼は以前と比べて忙しくない」という事になり
ます。要するに以前よりも暇だといっているのではなく、以前
よりも忙しいわけではないといっているわけです。だから、
その「忙しい」の否定は、その対義語である「暇」に当たるわけで
はありません。要するに、「同じくらいの忙しさか、それよりも
暇であるか」という捉え方をしなければなりません。分かりやすい
例で例えると、I'm not taller than he. はI'm shorter than he.
とは決してイコールではありません。これは同じくらいの身長であると
いう意味も含まれています。
ただし、I'm no tall than he.はI'm shorter than he.の英文と同じ内容です。
決してnotで否定されれば形容詞が対義語にはなりませんので注意を
して頂きたいと思います。

詳しくは以下のURLを参照してください。

＞問の意味が「(1)と(2)は同値か」という意味であると仮定すると答はFalseである、ということでしょうか。

そうですね。同値とは(1)と(2)が同じ意味にならなければなりません。
この場合、(1)と(2)とは明らかに等しくないので同値であるとは、
言えません。すでに述べましたとおり(1)と(2)が同値であるためには、
「(1)ならば(2)」である命題に対して、「(2)ならば(1)」という逆の命題
に対しても同時に成立しなければなりません。今回の場合、
「(2)ならば(1)」が成立しませんので、同値ではないですね…。よって、
この場合はfalseになります。

>問の意味が「(1)ならば(2)が言えるかという意味であると仮定すると答>はTrueである、ということでしょうか。

そうですね。英文にかかれている内容が(1)で、問題文にかかれている
事柄を(2)とすれば、「(1)ならば(2)」が正しければ、(1)を正確にしっかり
と読み取っていて、これが正しいと判断すれば、自動的に(2)も成立する
わけです。

参考URL：

http://homepage1.nifty.com/kmiya/comparison.html

お礼

再度の御回答を頂き有り難うございます。
御教示の内容よく分かりました。
また、舌足らずの質問にも拘わらずピンポイントの御回答を頂き、また3回の御回答を通じて論理学の初歩から御懇切に御説明いただき、数学を専門としない私にもよく理解できました。御礼の申し上げようもありません。
有り難うございました。

回答No.10

y_akkie

#8です。お礼の箇所で以下のような質問が出ましたので、個人的な
見解ついて述べさせて頂きます。あくまでも、個人的な見解という事
で…。

>つまり、問の意味が「(1)ならば(2)が言えるか」という意味であると
>仮定すると答はTrueである、ということでしょうか。

>そして、原文の「True or False」は「(1)と(2)は同値か」と
「(1)ならば(2)が言えるか」の両方に解釈が可能だということ
でしょうか。

まず、問題を作成する側では、英文がちゃんと読めているか、
どうかをチェックするための問いを出題しようという意図があると
考えられます。よって、英文に書かれている内容から判断して
問題文にかかれている内容が正しいかどうかを判断してもらう
といった意向があるわけだと思います。
ようするに(1)という英文があれば、(2)という問題文に対して
(1)がちゃんと読めているかどうかを確認したいわけです。
よって、(1)の内容を踏まえた上で、(2)が成立するかどうかと
いった問題を出すわけです。
すなわち、「（１）ならば（２）」という判定をしてもらうといった
視点でこのような問題を作成していると考えられます。

一方、解答者の方は言えば、まず先に問題文である(2)の方を先に見よう
とします。そして、作成者とは逆向きの視点で判断して問題を解こうと
するのではないでしょうか。

よって、(2)の真偽を判定するために、そのキーポイントとなる(1)を
探すわけです。そうすると、「(2)が成立すれば(1)が成立する」と
いう考えから、「(2)ならば(1)」という方向で判定してしまいがちだと
思います。また、(1)と(2)は同じ意味でなければならないという事も
考えてしまうケースも多いかと思います。

しかし、これらは問題を作成する側から見れば、問題作成をするに
あたって英文に書かれている内容をベースに出題するわけですから、
「(1)ならば(2)」の視点で作成していると考えた方が良いのではない
でしょうか…。

これらの持論を踏まえ、質問対する答えとして、「(1)と(2)は同値、
すなわち同じ意味である」という事を判定しようといった意図では
ないのではないでしょうか。先ほども述べたとおり、問題文を

読んだ上で(2)の事柄が正しいかどうかを判定するといった意図で
あると自分は考えています。そうすると、(1)という問題文を正しく
読めてこそ、(2)の真偽が判定できると、問題作成者側はそうお考え
になっているのではないでしょうか。よって、「(1)ならば(2)」が
成立するかどうかをまず考え、(1)は当然問題文にかかれている内容
なので真であるのは当然であるので、「(1)ならば(2)」が成立する
ので、すなわち(2)は真であると判定すべきではないでしょうか？

補足

「True or False」の意味と論理構造ばかりに気を取られていましたが、試験問題である以上出題者の意図を適切に推測することは解答者の仕事であるわけで、そういう意味では御指摘のとおりと思います。御指摘の点に出題者の意図があると判断して解答をすべきと思います。それが受験ということであり、それを忘れては合格は望むべくもないと思います。貴重かつ御懇切な回答を有り難うございました。

ただ、今回は受験という立場を少し離れ、（そのようなことが意味のないこととの御指摘は覚悟の上でということなのですが）純粋に解答として正しいかどうかという点から見てみたいと思っております。このような点から見ると、前回#8で質問させていただいた次の2点への御回答は、いずれも yes でしょうか。

問の意味が「(1)と(2)は同値か」という意味であると仮定すると答はFalseである、ということでしょうか。

問の意味が「(1)ならば(2)が言えるか」という意味であると仮定すると答はTrueである、ということでしょうか。

回答No.9

noname#101087

#3 でーす。

>なぜFalseなのか...

英語力のテストですね。
　He is not busier than before.
は「以前よりも忙しい」を否定する文だと読みました。
そう読んでしまうと、はじめの文を「以前よりも忙しい」と読んだからには、"False"と答えざるを得ません。

ほかにも読みかたがあるのでしょうか？

補足

>"False"と答えざるを得ません。

つまり、次のように考えられるということでしょうか。
(a)この問題は(1)と(2)が同値であるかどうかを問う問題である。
(b)(1)は、以前と同じに忙しい、ということである。
(c)(2)は、以前と同じに忙しいまたは以前より暇、ということである。
(d)したがって、(1)と(2)は同値ではない。
(e)したがって、Falseである。

回答No.8

y_akkie

(1)と(2)が同じ内容であれば、「(1)ならば(2)」、「(2)ならば(1)」
が同時に言えればよいわけです。これを数学的にいえば同値の関係
であると言います。

まず、(1)と(2)が同値であるかを判定するためには、

「(1)ならば(2)」が言えるかについて考えてみると、

「彼は以前と同じ程度に忙しいのであれば、彼は以前より忙しく
なっていない」ので、これは真であると言えると思います。

しかし、「(2)ならば(1)」の場合はどうでしょうか？

「彼は以前よりも忙しくなっていないのであれば、彼は以前と
同じ程度に忙しい」を考えてみると、この場合は、「彼は以前より
も忙しくない」ケースも存在するので偽になります。

よって、(1),(2)は同値ではなく、「(1)ならば(2)」としかいえません。
これを「(2)は(1)であるための必要条件」と言います。
(2)の事柄が言えるからといって決して(1)であるとは言えません。
数学的に考えて、(1)と(2)とは同値ではありません。

ここでは、(1)"He is still working at the company as busily as before."という問いに対して、結果として(2)He is not busier than before.の事柄が言えるか問われていると解釈すれば、「(1)ならば(2)」が
言えるので、(1)が正しければ(2)が正しいわけだから、(2)はTrueになるのではないでしょうか...。

補足

たいへん分かりやすい説明を頂き有り難うございます。

>よって、(1),(2)は同値ではなく、「(1)ならば(2)」としかいえません。

つまり、問の意味が「(1)と(2)は同値か」という意味であると仮定すると答はFalseである、ということでしょうか。

>ここでは、(1)"He is still working at the company as busily as before."という問いに対して、結果として(2)He is not busier than before.の事柄が言えるか問われていると解釈すれば、「(1)ならば(2)」が言えるので、(1)が正しければ(2)が正しいわけだから、(2)はTrueになるのではないでしょうか...。

つまり、問の意味が「(1)ならば(2)が言えるか」という意味であると仮定すると答はTrueである、ということでしょうか。

そして、原文の「True or False」は「(1)と(2)は同値か」と「(1)ならば(2)が言えるか」の両方に解釈が可能だということでしょうか。