曲線の近似について

質問

平面上に数式を用いて曲線を表現する例として単位円が示されていました。

x=cos(u)
y=sin(u)
0<=u<=2PI
　　　　　　　　　（１）
これをさらに置き換えることで

x=(1-u^2)/(1+u^2)
y=2u/(1+u^2)
(x>=0のみ)
　　　　　　　　　（２）
としめされてます。これがさらに

x=0.43u^3+1.466u^2+0.036u+1
y=-0.43u^3-0.177u^2+1.607u
　　　　　　　　　（３）
という多項式で近似的に示すことができるみたいなのです。

（１）から（２）への過程は理解できるのですが、これらをさらに（３）で近似できることがよくわかりません。なぜ（３）ではこのような数値が出てくるのか教えてください。

回答No.5

black_monkey

black_monkeyですぅ～。
No3で提案させていただいた方法で、具体的に計算をしてみましたので、結果のみをご報告いたします（計算と言っても手計算ではありませんのであしからず）。
(1) cos(θ)≒P(u)=a+b*u+c*u^2+d*u^3
(2) sin(θ)≒Q(u)=e+f*u+g*u^2+h*u^3
としたとき、
a=0.997,b=0.056,c=-1.497,d=0.441

e=0,f=1.613,g=-0.173,h=-0.441

と言う結果が得られました。
この式をプロットしていただければわかりますように、この近似式でも、sin,cosのよい近似式になっているかと思います。

lamさんの提示された
cos(θ)=x = 0.43u^3 - 1.466u^2 + 0.036u+1
ain(θ)=y = -0.43u^3 - 0.177u^2 + 1.607u
の近似式の係数と微妙に異なっています（特にbの値）が、割と近い値が導出できている思います。
lamさんの提示された近似式そのものが導出できなかったことからするとNGという結果かもしれませんが、とりあえず、No３のアイデアがどの程度うまくいくのか確認できましたので撤退いたします。

誤記、ウソがありましたらゴメンなさい。

お礼

たびたびの回答ありがとうございます。また、返事遅れてすみませんでした。係数は近似の仕方によって様々のようですね。私も結局最小自乗推定を用いる羽目になりまして、かなり近い値を得るにいたりました。black_monkeyさんの回答も大変参考になりました。ありがとうございました。

回答No.4

upsilon4s

私のやり方も black_monkey さんと基本的に同じですが、先に少し文字を減らしました。

black_monkey さんの表記を拝借します。
　x=cosθ≒P(u)=a+b*u+c*u^2+d*u^3
　y=sinθ≒Q(u)=e+f*u+g*u^2+h*u^3
ここで、u=0 のとき cosθ=1,sinθ=0 より
　a=1,e=0
です。
とりあえず、
　x=1+b*u+c*u^2+d*u^3
　y=f*u+g*u^2+h*u^3
のように書けますね。

さらにもう一つxとyの対称性という条件を課すなら、
ｘの式で u→1-u と書きかえるとｙの式と同じ多項式が出てくることになります。
つまり、
　x=1+b*(1-u)+c*(1-u)^2+d*(1-u)^3
　　=(1+b+c+d) - (b+2c+3d)*u + (c+3d)*u^2 - d*u^3
の係数とｙの式の係数が等しくなるはずです。
よって、
　1+b+c+d=0
　b+2c+3d=-f
　c+3d=g
　d=-h
などの条件が出てくるのでもう少し文字数を減らせます。

その後で最小２乗法を使うと少し楽になります。

お礼

回答ありがとうございます。文字を減らすことは、計算コストから考えてかなり重要ですね。ぜひ参考にさせていただきます。

回答No.3

black_monkey

black_monkeyです。
テーラー展開と異なった観点からのアドバイスをさせていただきます。
着想だけで、実際に計算等はやっていませんので、おそらくハズレかもしれません。読み捨ててください。

【本文】
・
cos(π/2*u),sin(π/2*u)のそれぞれが、uについて、偶関数、奇関数で表現されていないことからすると、black_monkeyの能力ではテーラー展開から導出することができそうにもありません。
・
cos(π/2*u),sin(π/2*u)がそれぞれ、uに関して、3次の展開式で表現されるものとします。
(1) cos(θ)≒P(u)=a+b*u+c*u^2+d*u^3
(2) sin(θ)≒Q(u)=e+f*u+g*u^2+h*u^3
ここで、
(3)　θ=π/2*u
上記の近似式の係数{a,b,c,d,e,f,g,h}は、

(4)　
ε(a,b,c,d,e,f,g,h)=

π/2
∫(cos(θ）-P(u))^2+(sin(θ)-Q(u))^2 dθ
0

(4)式の誤差が最小になるように各係数を決めます（最小自乗法と同じ要領でぇ～）。

(∂/∂a)ε=0
(∂/∂b)ε=0
～
(∂/∂h)ε=0

の方程式からa～hが決まるのかなぁ～？

【猿の独り言】
・(1)式から(2)式の導出がナゾですぅ。
x=cos(θ)
y=sin(θ)
で
u=tan(θ/2)
として、
x=(1-u^2)/(1+u^2)
y=2u/(1+u^2)
となるなら理解できるのですがぁ～。
最初からコケテしまったままのblack_monkeyです。
ト・ホォホォ……。

誤記・ウソがありましたらゴメンなさい。

お礼

回答ありがとうございます。最小化問題に置き換える手法は思いもよりませんでした。ちょっと興味があるので、この手法を試してみようと思います。

回答No.2

upsilon4s

どうやら
　x=0.43u^3+1.466u^2+0.036u+1
の部分は
　x=0.43u^3-1.466u^2+0.036u+1
の間違いのようですね。

私もテーラー展開あたりかと思ったのですが、
　u=0 のとき(x,y)=(1,0)
　u=1 のとき(x,y)=(0,1)
で固定されており、0<u<1 においても
そこそこ良い近似になっているようです。
もう少し考えてみます。

お礼

回答ありがとうございます。書籍を確認したところ、ご指摘のように式を書き間違えておりました。大変お騒がせいたしました。
実際にプロットさせて見ると、かなりよい結果を得ることに感動しつつも、なぜこうなのか、よくわかりませでした。ご思案のほど、よろしくお願いいたします。

回答No.1

kony0

ひょっとして、xの式、間違っていませんか？（特に係数の符号とか・・・）

dx/du>0 for all u>=0なので、u>0のときx>1が言えてしまい、もとの円からかけ離れていくような気がするのですが・・・

ちなみに、(3)式は(2)式を適当なuのまわりでテーラー展開かなにかしたもの、とかではないのでしょうか？

お礼

回答ありがとうございます。ご指摘どうり、式を書き間違えておりました。
正しくは

x = 0.43u^3 - 1.466u^2 + 0.036u+1
y = -0.43u^3 - 0.177u^2 + 1.607u

でした。大変お騒がせしました。
私もテイラ-展開によるものである気がしていたのですが、それ以上の思考にいたりませんでした。もっとよく考えてみます。
ありがとうございました。