極限がわかりません・・・（基本

質問

数列｛a(n)｝の一般項とその極限を求めよ。
1.a(1)=1,a(n+1)-a(n)=(1/3)^(n-1)
2.a(1)=1,a(2)=2,a(n+2)-a(n+1)=(1/2)(a(n+1)-a(n))
次の極限を求めよ。
3.lim(x→3){1/(x-3)^2}
4.lim(x→0){(1/x^2)-2}
5.lim(x→-1){x/(x+1)^2}
6.lim(x→2)[{x-√(x+2)}/(x-2)]
7.lim(x→0)[{√(2+x)-√(2+x^2)}/{√(x+1)-√(1+x^2)}]

これだけお願いします。GWという貴重な時間を割いて
教えてくれる方感謝します。明けにテストがあるのですが
基本問題なのですができるだけ詳しく教えてください。
一問単位でも結構です。よろしくお願いします。

回答No.2

mozniac

a(n+1)-a(n)は数列a(n)の階差数列
1.a(n+1)-a(n)は、初項1,公比1/3の等比数列。
n≧2のときa(n)=a(1)+(1-(1/3)^(n-1))/(1-1/3)=5/2+(3/2)(1/3)^(n-1)
これはn=1でも成り立つ。よって、a(n)=5/2+(3/2)(1/3)^(n-1)
2.a(n+1)-a(n)=b(n)とすると、b(n+1)=(1/2)b(n)であり、b(1)=a(2)-a(1)=1
よって、数列{b(n)}は、初項1、公比1/2の等比数列。
　 n≧2のときa(n)=a(1)+(1-(1/2)^(n-1))/(1-1/2)=3-(1/2)^(n-2)
これはn=1でも成り立つ。よって、a(n)=3-(1/2)^(n-2)

3.lim(x→3){(x-3)^2}=+0であるから、与式=+∞
4.lim(x→0){(1/x^2)}=+0であるから、与式=+∞
5.lim(x→-1){(x+1)^2}=+0、lim(x→-1){x}=-1であるから、与式=-∞
以上、不定形ではないもの

以下は、不定形を解消してから。
6.分子・分母にx+√(x+2)をかけることによって、
　{x-√(x+2)}/(x-2)=(x+1)/{x+√(x+2)}となるから、与式=3/4
7.分子・分母に{√(2+x)+√(2+x^2)}{√(x+1)+√(1+x^2)}をかけることより、
　{√(2+x)-√(2+x^2)}/{√(x+1)-√(1+x^2)}={√(x+1)+√(1+x^2)}/{√(2+x)+√(2+x^2)}となるから、
　与式=1/√2

計算ミスあったら、ごめんなさい。テストがんばってね。

お礼

ありがとうございました。
印刷してじっくり考えたいと思います。でわでわ