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ラプラス変換の定義
nubouの回答
- nubou
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両側ラプラス変換はｔ０が存在してｔ＜ｔ０ならばｆ（ｔ）＝０である関数ｆに適用されます ｆ（ｔ）の両側ラプラス変換をＬ（ｆ（ｔ））（ｓ）と書くと Ｌ（ｆ（ｔ））（ｓ）≡∫（－∞＜ｔ＜∞）ｄｔ・ｆ（ｔ）・ｅｘｐ（－ｓ・ｔ） です 両側ラプラス変換の公式を示すと Ｌ（ａ・ｆ（ｔ）＋ｂ・ｇ（ｔ））（ｓ）＝ａ・Ｌ（ｆ（ｔ））（ｓ）＋ｂ・Ｌ（ｇ（ｔ））（ｓ） Ｌ（ｇ’（ｔ））（ｓ）＝ｓ・Ｌ（ｇ（ｔ））（ｓ） Ｌ（∫（－∞＜τ＜ｔ）ｄτ・ｇ（τ））（ｓ）＝Ｌ（ｇ（ｔ））（ｓ）／ｓ Ｌ（∫（－∞＜τ＜∞）ｄτ・ｆ（τ）・ｇ（ｔ－τ））（ｓ）＝Ｌ（ｆ（ｔ））（ｓ）・Ｌ（ｇ（ｔ））（ｓ） Ｌ（ｇ（ｔ－ａ））（ｓ）＝ｅｘｐ（－ａ・ｓ）・Ｌ（ｇ（ｔ））（ｓ） Ｌ（ｇ（ｔ）・ｅｘｐ（－ａ・ｔ））（ｓ）＝Ｌ（ｇ（ｔ））（ｓ＋ａ） Ｌ（δ（ｔ））（ｓ）＝１ Ｌ（ｈ（ｔ）・ｔ＾α）（ｓ）＝Γ（α＋１）／ｓ＾（α＋１） Ｌ（ｈ（ｔ）・ｃｏｓ（ω・ｔ））（ｓ）＝ｓ／（ｓ＾２＋ω＾２） Ｌ（ｈ（ｔ）・ｓｉｎ（ω・ｔ））（ｓ）＝ω／（ｓ＾２＋ω＾２） これだけ知っていればもう何も必要有りません 片側ラプラス変換はｔ＜０ならばｆ（ｔ）＝０である関数ｆに適用されます ｆ（ｔ）の両側ラプラス変換をＳ（ｆ（ｔ））（ｓ）と書くと Ｓ（ｆ（ｔ））（ｓ）≡∫（－∞＜ｔ＜∞）ｄｔ・ｆ（ｔ）・ｅｘｐ（－ｓ・ｔ） です 片側ラプラス変換の欠点： Ｓ（δ（ｔ））（ｓ）＝１ となっていますがこれは非常にまずいのです この値は１／２，０，１の３通りの解釈ができるからです またｆ（ｔ）は始まりを０に固定してますが 始まりが有るが何時始まるか分からないものに無力です また公式の中に複雑なものが出現します 片側変換がはびこってしまったのは最初に始めた人に眼力がなかったためで ｍｓｄｏｓ、ｗｉｎｏｗｓのようなものなのです
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