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コインを投げて「過去4回以内に表が2回出たら終わり」なゲーム
表が出る確率がpなコインがあります。 「過去4回以内に表が2回出たら終わり」というゲームを考えます。 例えば、 ○○ ・・2回で終了(最短!) ○●●○ ・・4回で終了 ●○●○ ・・4回で終了 ●○●●●○ ・6回で終了 (○おもて、●裏) という感じです。 「このゲームが終わる回数の期待値」はいくつでしょうか? 最初は簡単かと思ったのですが、分からなくなりました。 上の例で言うと、2回で終了する確率はp^2、4回で終了する確率は 3C1 (1-p)^2 p*p(?) だと思うのですが、これらの回数の期待値となると頭がこんがらがってしまいました。
- white-tiger
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>「過去4回以内に表が2回出たら終わり」 というのは最後の4回の中に表が2個あったら終わりという事ではないんですか? とすると、 > ●○●●●○ ・6回で終了 は、最後の4回は●●●○で、表は1回だけなので、終わってないような?? まぁ、いいか。 例から考えると、最後の5回を見てその中に表が2個あったら終わりという事なんですかね。 ●●●●と出た後に、コインを投げる回数の期待値をA(←これはコインを投げる前の時点での期待値と一緒) ●●●○と出た後に、コインを投げる回数の期待値をB ●●○●と出た後に、コインを投げる回数の期待値をC ●○●●と出た後に、コインを投げる回数の期待値をD ○●●●と出た後に、コインを投げる回数の期待値をE とおくと(●=裏、○=表です)、簡単な考察から、 A=1+pB+(1-p)A (←Aの状態からコインを投げると確率pでBの状態になり確率1-pでAの状態になる) B=1+(1-p)C C=1+(1-p)D D=1+(1-p)E E=1+(1-p)A のようになります。この連立方程式を解いてAを求めれば答えがわかります。ご自分で求めて下さい。
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- kabaokaba
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漸化式タイプなのでは? n回で終わる確率をP(n)とします n=1 終わらないから確率 P(1)=0 n=2 二回連続で出るから P(2)=p^2 n=3 ●○○,○●○だから,2p^2(1-p) n=4 □□□○ □には一個だけ○が入る,残り二つは● だから,3p^2(1-p)^2 n>4とします n回目で終わるということは ・(n-1)回目までで終わっていない => 確率 1-P(n-1) ・n回目には○ => 確率 p ・n-4,n-3,n-2,n-1の中には ○が一回,残りは● => 4p(1-p)^3 が同時に成り立つことなので, P(n) = (1-p(n-1)) * p * 4p(1-p)^3 この漸化式を解いて,P(n)を求めて ΣnP(n)を計算する・・・すごいことになりそう. 全然あってる気がしませんが(苦笑)。。。
- motochan7185
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n回(n>2)でゲームが終了する確率は、 n回目に表、1回目からn-1回目までに一度だけ表、 それ以外は全て裏、が出る確率となりますので (n-1) * (1/2)^n です。 期待値は、(回数かける確率)の和になりますから、 Σ(n-1)*(1/2)^n です。(Σの範囲は2から∞) ここから先は時間をかけて考えてみてください。
補足
>n回(n>2)でゲームが終了する確率は、 >n回目に表、1回目からn-1回目までに一度だけ表、 >それ以外は全て裏、が出る確率となりますので 違います。 「過去4回以内」に表が2回出たら終わりというゲームです。 過去すべて、トータルで表が2回出たら終わりというゲームではありません。 たとえば、 ●●●●○●●●●○●●●●○●●●●・・ では、すでに三回表が出ていますがまだ終わっていません。
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>最後の4回は●●●○で、表は1回だけなので、 >終わってないような?? すみません・・ご指摘の通りです。 ●●○●●○ とすべきでした。 ヒントありがとうございます!