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【確率】次の問題の独立性は明らか？
stomachmanの回答
- stomachman
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kony0さんって、先生？ 一応教育的見地、って方向で考えてみました。 １．上の考察は正しいですか？ ＜ 鋭くも正しい考察であると思います。 ２．この問題って、見た瞬間に独立であることは明らかなんでしょうか？ ＜いやいや、誰にとってもそうであるとは思いません。多分、 誤：「袋の中の白玉と赤玉の個数の期待値は等しい。そして１個の白玉を取り除いたのだから、残っている玉のひとつをランダムに取り出したとき、それは赤である確率が高い。」 という誤謬に陥りやすいですよね。 ●律儀に計算するとこういうことになるでしょう。 コインを投げて、袋に入れる３個の玉の色を決めるプロセスは、袋の中身が 赤３個白０個になる確率 1/8 赤２個白１個になる確率 3/8 赤１個白２個になる確率 3/8 赤０個白３個になる確率 1/8 です。 言い換えれば、８つの袋を用意して 赤３個白０個が入っている袋 1つ 袋#0 赤２個白１個が入っている袋 3つ 袋#1～#3 赤１個白２個が入っている袋 3つ 袋#4～#6 赤０個白３個が入っている袋 1つ 袋#7 を作り、そしてその内の一つの袋を無作為に選んだ、と考えても全く同じです。 さて、選んだ袋からランダムに１個玉を取り出したところ白だった。 この白玉は8つの袋に入っている12個の白玉のうちのどれかです。従ってその同じ袋に、 ・もう白玉が入っていない。つまり袋#1～#3を選んだ確率はそれぞれ 1/12 ・あと１個の白玉が入っている。つまり袋#4～#6を選んだ確率はそれぞれ 2/12 ・あと２個の白玉が入っている。つまり袋#7を選んだ確率は、3/12 です。つまり、 ・袋#1～#3のどれかを選んだ確率は 3×1/12 = 3/12 ・袋#4～#6のどれかを選んだ確率は 3×2/12 = 6/12 ・袋#7を選んだ確率は、3/12 ですね。 そういう状況に於いて、同じ袋からさらにもう１個の玉をランダムに取り出したとき、これが白玉である確率は、 ・もし袋#1～#3のどれかを選んでいたのなら、0 ・もし袋#4～#6のどれかを選んでいたのなら、1/2 ・もし袋#7を選んでいたのなら、1 ですから、 3/12×1 + 6/12×1/2 + 3/12×0 = 1/2 この面倒な計算を、「１つめの玉と２つめの玉の色は互いに独立である」で片づけるんですから、エレガントな解法ですね。 ●ちょいと変形してこういう問題では如何でしょうか。 ・袋#0には赤玉２個 ・袋#1には赤玉と白玉１個ずつ ・袋#2には白玉２個 が入っている。袋を一つ選んで、玉をランダムに１個取り出したら白だった。 この白玉は3つの袋に入っている3個の白玉のうちのどれかです。従ってその同じ袋に、 ・もう白玉が入っていない。つまり袋#1を選んだ確率は 1/3 ・あと１個の白玉が入っている。つまり袋#2を選んだ確率は 2/3 です。 そういう状況に於いて、同じ袋からさらにもう１個の玉をランダムに取り出したとき、これが白玉である確率は、 ・もし袋#1を選んでいたのなら、0 ・もし袋#2を選んでいたのなら、1 ですから、 1/3×0 + 2/3×1 = 2/3 です。この変形した問題では「１つめの玉と２つめの玉の色が互いに独立である」とは言えません。 でももし、赤玉と白玉１個ずつ入っている袋を（１つではなく）２つ用意すれば、kony0さんの論法が使えて「１つめの玉と２つめの玉の色が互いに独立である」と言えるし、実際答は1/2になります。 つまり、「１つめの玉と２つめの玉の色が互いに独立である」と言えるためには、入っている白玉の個数が0,1,2,...であるような袋の数の分布を、コイン投げで生成したことが本質的に重要ですよね。袋じゃなく、コインが重要。ここの所の事情を詳しく検討して見せないと、「袋入りの赤玉白玉？なら、１つめの玉と２つめの玉の色は互いに独立なんだな」って、誤ったショートカットを憶えてしまう危険がありそうです。 ３．表が赤、裏が白の偏りのないコインを投げる操作を繰り返す。 1,2,3の数字をランダムに選びこれをnとする。n回目のトスで白が出る確率は？ 1,2,3のうちn以外の数字をランダムに選びこれをmとする。m回目のトスで白が出る確率は？ m回目のトスで白が出る確率は、n回目のトスで白が出る確率と関係があるか？ ってんで如何でしょう？
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