なぜ微分したら円の面積が円周の長さになるの？

質問

円S(r,2π)=πr^2を微分したら、なぜ円周の長さ2πrに等しくなるのでしょうか？
たしか、微分は接線の傾きを求めるものだったと思うのですが。
よろしくお願いします。

回答No.4

springside · ベストアンサー

回答は他の方の通りなのですが、まず、

>>微分は接線の傾きを求めるもの

という固定観念を捨てましょう。

微分というのは、「ある２つの量の関係があったときに、一方がほんの少しだけ（厳密には、無限小だけ）変化したら、もう一方はどのくらい変化するか」を表したものです。

「ある２つの量」が、たまたま「座標平面上のxとy」だった時に、微分は接線の傾きになります。（あくまでも、たまたまです）

今回の場合、「ある２つの量」が、「半径と面積」であるため、微分は「半径がほんの少しだけ変化したら面積はどのくらい変化するか」を表すことになり、他の方の回答のように、面積の少しだけの変化は、「極めて細い円環」になり、それは円周の長さに等しくなるわけです。

回答No.3

noname#21317

傾きは変数を微小に変化させた時の増加率です。
半径を微小に増加させると、その時の円周の分だけ面積が増加します。

例えば、
y=x^2はxを微小に増加させると、2xだけyの値が増加します。
S=πr^2はrを微小に増加させると、2πrだけSの値が増加します。

半径ｒの円の面積（πr^2）は、半径０の円周（2π0）から
半径ｒの円周（2πr）までを無限に足し合わせたものだからです。
少し語弊がありますが、イメージしやすく説明してみました。

回答No.2

shaki_shaki

2πrになることについては、No.1 さんの回答の通り。

>微分は接線の傾き
の接線の関数とは、xとyの関数のことではありませんか？

すなわち、「微分して接線の傾きが求まる」のは、 S=πr^2 を rで微分した場合ではなく、 y = ±√（r^2 - x^2) を x で微分した場合になります。

回答No.1

chiezo2005

この場合，微分の定義にもどるとｒを微小量dr変化させたときの，面積の変化dSの比を求めていることになります。
ｒを微小量変化させたときの面積の変化とはなにを意味するか考えてみると，drの幅の円環の面積に相当します。
つまり，dS=dr×2パイr
なので，dS/dr=円周になるのです。