三角関数の問題で・・・

質問

こんにちは。下記の問題の、意味がわからないので回答お願いします。

【問題】
　xy平面においてＰ(cosx,sinx)、Ｑ(１，１)をとる。
　ただし、－π≦ｘ≦π.　１８０゜＝π〔rad〕
　ｘ≠０のとき、この２点Ｐ,Ｑを通る直線の傾きは？

「ただし」以下の意味がわからないので、解けないのです。
　πは、何を表しているのか？ｘの範囲は？この点を特にお願いします。

回答No.5

KaitoTVGAMEKOZOU · ベストアンサー

なぜ、弧度法を使うのか？関数ｙ＝sinｘの導関数を求めてみればわかる。理系なら、教科書に載っているので無視してくれ。

ｙ’＝lim(h→０){sin(x+h)－sin(x)}/h　　…（☆）はいいよね。導関数の公式に、f(ｘ)＝sin(x)　を当てはめただけだ。

sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ　　…（１）
sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ　　…（２）
（１）－（２）より、

sin(α＋β)－sin(α－β)＝２cosαsinβ　　　…（３）

α＋β＝Ａ,α－β＝Ｂ　　とすると、（３）式は、
sin(Ａ)－sin(Ｂ)＝２cos{(Ａ＋Ｂ)／２}sin{(Ａ－Ｂ)／２}　　…（４）　となる。

Ａ＝ｘ＋ｈ，Ｂ＝ｘを（４）式に代入すると、
sin(ｘ＋ｈ)－sin(ｘ)＝２cos{(２ｘ＋ｈ)／２}sin(ｈ／２)　　…（５）

（５）式を（☆）式に代入すると、
ｙ’＝lim(h→０){sin(x+h)－sin(x)}/h　　…（☆）
　　＝lim(h→０)［２cos{(２ｘ＋ｈ)／２}sin(ｈ／２)］／ｈ
　　＝２×lim(h→０)［cos{ｘ＋(ｈ／２)}］sin(h／２)／ｈ　　　…（★）

「弧度法」であらわされた関数ｙ＝sinｘ,ｙ＝ｘ，ｙ＝tanｘの３つのグラフは、０≦ｘ≦π／２の区間で、０≦sinｘ≦ｘ≦tanｘ　の大小関係にある。等号成立は原点のみ。（注！この証明は、数３の教科書には、面積を使って証明してあったと記憶している。ところが、面積でやると絶対失敗するのである。これは、有名な循環論法である。つまり、証明が未完成なのに、教科書に載っているのである。長さでやると上手くいくのだが、かなり面倒なのでここでは省きます。了承されたい。ちなみに、大学の教養過程の微積には証明が載っていた。興味があるなら購入されたし）

０≦sinｘ≦ｘ≦tanｘ　（０≦ｘ≦π／２）は高校では証明未完成なのに、教科書に載っているために、受験では多用される。なぜかというと、この不等式は基本関数が３つもそろっているからである。これを使えば、三角関数の面倒な大小比較がが一撃で解決する（こともある）。ちなみに、この不等式はじゃんじゃん使ってよい。三角関数を微分するために、証明不十分ながらこの不等式を使っているのに、三角関数の大小比較のために使うのを制限されるのは、理屈に合わないでしょ。

で本題に入るが、０≦sinｘ≦ｘ≦tanｘ（０≦ｘ≦π／２）　を少し変形する。
ｘ＝０のとき、たしかに成立。
ｘ≠０のとき、両辺をｘで割ると、
０＜（sinｘ）／ｘ＜１＜（tanｘ）／ｘ　　…（６）
ｘ≠０のとき、両辺をsinｘで割ると、
０＜１＜ｘ／sinｘ＜１／cosｘ　　⇔１＜cosｘ＜（sinｘ）／ｘ　　…（７）

（６）と（７）あわせて、（０＜ｘ≦π／２）のとき、
１＜cosｘ＜（sinｘ）／ｘ　＜１　　…（８）
（８）式において、ｘ→０　とすると、（sinｘ）／ｘ　→１　…（９）である。

さて、（★）式に戻るか。
ｙ’＝２×lim(h→０)［cos{ｘ＋(ｈ／２)}］sin(h／２)／ｈ　　　…（★）
　　＝lim(h→０)［cos{ｘ＋(ｈ／２)}］sin(h／２)／（ｈ／２）　　
ｘ→０とすると、
cos{ｘ＋(ｈ／２)}→cosｘ　，　　sin(h／２)／（ｈ／２）→１　　

よって、
ｙ’＝cosｘ　　となる。

＜解説＞
声を大にして言うが、０≦sinｘ≦ｘ≦tanｘ（０≦ｘ≦π／２）は、弧度法のとき、上手く成り立つのである。数３の教科書でも、弧度法を使って、不十分ながら扇形の面積から求めた。だから、三角関数の微分積分はかならず、弧度法でやる。
どっかの塾だか、予備校だかの講師が、「なんで弧度法を使うのですか？」という生徒の問いに対して、「弧度法を使うとすべての角度を簡単にあらわせるんだよ」などと、本質を説明しないやつがいたが、困ったものだ。
（この講師が、３６０度進法だと、有理数までしかあらわせられないということを、言いたかったのではないかと信じたい）

以上！