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恒等式についての問題です。
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お二方のアドバイスで、もう解けましたか? 実際に解いてみますので、答え合わせしてください。 とその前に恒等式の意味をおさらいしますと、xについての恒等式というのはどんなxの値についてもその等式は成り立つというものです。 例えば展開(因数分解)しただけの式 (x-1)(x+3) = x^2 +2x -3 もxの恒等式です。 では解きますよ。 まず、starfloraさんの説明ででてきた二つの関係式を抑えておきます。 a = c ---<1> b = 4d ---<2> とします。先に説明したように恒等式ならばxがどんな値でも成立しますから、実際にxに適当な値を代入してしまいます。 適当といっても、計算が容易になるように工夫が必要です。 x=-1とかx=4 と先のお二方が言っているものこのためで、この値を代入すると与式(1)の右辺が0になってくれる、つまりcとdが消えてくれるわけです。 x= -1 を代入すると a(-1)^3-3(-1)^2-17(-1)-b = 0 -a-3+17-b = 0 ∴a+b = 14 ---<3> x= 4 を代入すると a・4^3-3・4^2-17・4-b = 0 64a -48-68-b = 0 ∴64a-b = 116 ---<4> <3>と<4>の連立方程式を解いて a = 2, b= 12 これを<1>,<2>に代入して c = a = 2, d = b/4 = 3 答え: a=2,b=12,c=2,d=3 (別解=基本的な解き方) 右辺を展開すると (x+1)(x-4)(cx+d)=(x^2-3x-4)(cx+d) = cx^3+(d-3c)x^2-(4c+3d)x-4d 左辺の各項の係数を比較して a = c ---<ア> 3c-d = 3 ---<イ> 4c+3d = 17 ---<ウ> b = 4d ---<エ> <イ>×3 +<ウ> より 13c = 26 よって c = 2 <ア>より a=c=2 <イ>より 6-d = 3 よって d = 3 <エ>より b = 4d = 12 答え: a=2,b=12,c=2,d=3
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- KaitoTVGAMEKOZOU
- ベストアンサー率22% (13/58)
問題 「方程式と恒等式の違い考えよ」 尚、「未知数」は値を求めるべき数、係数は「未知数以外の数」とする。 答えは書かなくてもいいです。
- starflora
- ベストアンサー率61% (647/1050)
これは、右辺を展開して、係数を較べると、多分、4元1次方程式ができますから、そこから解くことができます。 あるいは展開しなくとも、xの3次項の係数は、(1)*(1)*(c)= c で、これが、aですから、a=cという式が出てきます。 また、xのゼロ次項の係数は、(+1)*(-4)*(+d)= -4d で、これが、-bですから、-b=-4dつまり、b=4dの関係が出てきます。 後、siegmund さんの言われているように、x=-1とか、x=+4とか代入すると別の関係式が出てきて、案外、簡単に解ける可能性があります。実は、これは、右辺を展開しているのと、事実上同じことなのです。
- siegmund
- ベストアンサー率64% (701/1090)
(1) ax^3-3x^2-17x-b=(x+1)(x-4)(cx+d) が恒等式になるように a,b,c,d を定めよ,ということでしょうか? 標準的な方法は,右辺をバラして左辺と比べて同じ式になるようにすることです. つまり,x^3 の係数,x^2 の係数,x の係数,定数項, これらが左辺と右辺で等しくなるようにすればOK. 4本の連立方程式になりますが,決めるべきなのは a,b,c,d の4つですから 話は合いますね. あとはお任せします. 少し慣れてきますと,x^3 の係数や定数項はすぐ見えるとか, x=-1 や x=4 と置いてみるとか, そういうこともできますが,最初のうちは上の標準的方法をおすすめします.
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