初期値問題 ラプラス変換

質問

答えが導けない問題があります。
アドバイスをいただけませんでしょうか。

以下の問題がそれです。

y'=y(2-y),y(0)=1

いろいろやってみたんですが解けません。
お願いします。

回答No.2

stomachman · ベストアンサー

ラプラス変換は線形微分方程式に使います。ところが
y'=y(2-y)
はy^2の項を含むんで線形じゃない。このままじゃ適用外でしょう。

　そこで試しに
y = 1/z
とおいてみますと、
y' = -z'/(z^2)
よって、
-z'/(z^2) = (2-1/z)/z
と書き換えられます。移項して整理すると、
z' + 2z - 1 = 0
これならラプラス変換でできますね。

　しかし、この解法ではy=1/zと表せない解（どこかでy=0になる解）は抜けてしまいます（実際 y(t) = 0（定数関数）はレッキとした解ですよね）し、逆にz=0になる解が紛れ込んでくる可能性があります。その上、ラプラス変換はt≧0についてだけしか面倒を見てくれません。
　だから、この場合にはラプラス変換で得られるのは「解の候補の一部」に過ぎないと考えるべきで、丁寧な吟味が欠かせません。

回答No.3

stomachman

初期値問題であるということを考慮すると、説明の追加が必要かと思いつきまして、再度upします。というのは、ご質問の場合には「y(0)=1が与えられているから、解の吟味なんか不要ではないか」という意見もありそうに思うからです。

けれどもy(0)=1を通る複数の解がないとも限らないし、zに関する微分方程式を解いて得た解がyに関する微分方程式の解として使えるかどうかも分からない。やっぱり解いた上で検討してみなくちゃ、これらは分かりません。ご質問の場合には「たまたま」そういうややこしい事態は生じないようですが。

お礼

連絡が遅れてしまい、本当に申し訳ありませんでした。
また、非常に詳しく教えていただきありがとうございます！
おかげざまで一応、解までたどり着くことが出来ました。

stomachmanさんの説明の追加を待っていたのですが、まことに勝手ながら1週間後に締め切らしていただきます。
ありがとうございました。

回答No.1

leo-ultra

ラプラス変換で解くのですか？
そうじゃなくていいのならば、

dy/dx=y(2-y)
dy/{y(2-y)}=dx

これが、
dy[{a/y}－{b/(2-y)}]=dx
みたいになるので両辺積分できる。

aとbは自分で計算してください。

dy/yの積分はご存知でしょう？

お礼

返事が遅れてしまい，申し訳ありません．
確かにこの方法でyとxの式になりますね！
これは考えてませんでした．
ありがとうございます．

ただ，私がとこうと思ったやり方では，
例えばx'+2x=e^t,x(0)=3という問題のように，
両辺をラプラス変換して，
{sX(s)-x(0)}+2X(s)=1/(s+1)
となり，これを解くと
X(s)={1/(s+1)}+{2/(s+2)}
であり，さらに逆ラプラス変換すると一般解x(t)は
x(t)=(e^-t)+(2e^-2t)
となる．

こんな感じで解こうと思ったんですが，
この方法では無理なんでしょうか？
気分を害するような質問をしてしまってすいません．