「階段状ドミノ倒し」の限界高度は？

質問

テレビで「ドミノ倒し」を見たとき、疑問に思ったコトなのですが、

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階段の個々の段に1個ずつドミノを置いていき、最下段のドミノを静かに押し倒して
階段に並べたドミノが下から上へ倒れていく状態を考えます。

この階段を無限に高くしていくとき、ドミノはどの程度の高さまで倒れるのでしょうか？
（階段の最下段は、地表面。　空気抵抗は無視。）
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高度が高いほど重力加速度は小さくなるので、どこかで倒れなくなると思うのですが。。
できれば、答えだけでなく考え方もお願いします・・・。

回答No.1

moumougoo · ベストアンサー

ドミノが倒れる際に、重心がちょっとだけ高くなってから倒れるとおもいますが、
そのときに、乗り越えなくてはならないエネルギーは普通に立っている状態からの高さの差ΔＨとすると
全質量のｍと重力定数ｇ(ｈ)（ｈは高さ）を使って

ｍｇ(ｈ)ΔＨ

と表されます。このとき、最高点で止まってしまう（＝すべてが位置エネルギーに食われてしまう）ようなことがなければ
ドミノは倒れます。その時に開放されるエネルギーはｍｇ(ｈ)（ΔＨ＋ΔＨ'）。ΔＨ'は倒れこんだ高さ。となるので、
つぎのドミノの重心の位置をｈ＋Δｈとすると、つぎのドミノが倒れるための条件は

ｍｇ(ｈ＋Δｈ)ΔＨ＜ｍｇ(ｈ)（ΔＨ＋ΔＨ'）

これにｇ(ｈ)=G/(h+R)（Ｒは地球の半径）として

ｇ(ｈ＋Δｈ)/ｇ(ｈ)＝（ｈ＋Ｒ）/(ｈ＋Δｈ＋Ｒ)～1-(Δｈ/(h+Ｒ))

これより

1-(Δｈ/(h+Ｒ))<1+ΔＨ'/ΔＨ

となる条件はいつも満たされることから、特に問題なくどこまでも倒れていくと思います。

※つまり、スゴイ高いドミノを考えてみてもらうと分かりますが、地表にあるほうが力強くたおれて、
宇宙にある方が倒れやすいので、どこまでも倒れていくわけです。