- ベストアンサー
積分について
- みんなの回答 (4)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
すみません。 (2)なんですけれど。全然テクニックなんていりませんでした。 お恥ずかしい。 いきなり、x^3=tとおいてください。 1/3*t^(-2/3)*e(-t)dtの積分になりますから、 ガンマ関数の定義より、 1/3*Γ(1/3)が答え。 これで終っていました。m(__)m
その他の回答 (3)
- stomachman
- ベストアンサー率57% (1014/1775)
あらら、(3)がほったらかしみたいです。 中心(x,y)=(0,1), 半径1の円(の上半分)を、この円と(x,y)=(0,2)と(x,y)=(1,1)で交差する直線で切り取ったカマボコ形の領域がDですね。"D"って文字の形そのまんまです。(<どうでもいいじゃない) で、 ∫∫x(x^2+1)/y^2dxdy ((x,y)∈D) の定積分をやれ、つう訳です。 円と直線の交点を見れば分かるとおり、yの変域は 1≦y≦2 であり、xの変域は(yを定数だと思えば) 2-y≦x≦√(2y-y^2) ですね。(えと、2-yと√(2y-y^2)てのはそれぞれ y=2-x をxについて解いたもの、 y=1+√(1-x^2) をxについて解いたもの、です。) ゆえに、内側の積分は(yを定数だと思ってやればいいので) J(y) = (1/(y^2))∫x(x^2+1)dx (x=2-y~√(2y-y^2)) であり、これは簡単。yの関数として表されます。そして、外側の積分は ∫J(y) dy (y=1~2) ということになります。これも簡単。
- mickel131
- ベストアンサー率36% (36/98)
私は(1)に回答します。 分母の式は eのx(e^x+1)^2 乗 ではなく、 eのx乗 に (e^x+1)^2 をかけている、と見て解きました。 I=∫[(e^6x+2e^4x+e^2x+4)/{e^x(e^x+1)^2}]dx と置き、 eのx乗 を t 、被積分関数をf(x)と置くと、 f(x)={t^6+2t^4+t^2+4}/ {t(t+1)^2} ={t^6+2t^4+t^2+4}/ {t^3+2t^2+t} そこで、実際に t^6+2t^4+t^2+4 を t^3+2t^2+t で割ってみる(筆算する)と、 商は t^3-2t^2+5t-8 、余りは 12t^2+8t+4 であるから、分子={t^3+2t^2+t}*{t^3-2t^2+5t-8} +{12t^2+8t+4} で、 f(x)= t^3-2t^2+5t-8 +{12t^2+8t+4}/{t^3+2t^2+t} = t^3-2t^2+5t-8 +{12t^2+8t+4}/{t(t+1)^2} ここで、{12t^2+8t+4}/{t(t+1)^2} を部分分数に展開する。つまり、 {12t^2+8t+4}/{t(t+1)^2} = a/t + (bt+c)/(t+1)^2 と置き、この右辺を通分して計算する。 この右辺={a(t+1)^2+(bt+c)t} /{t(t+1)^2} ={at^2+2at+a +bt^2+ct} /{t(t+1)^2} ={(a+b)t^2 +(2a+c)t +a} /{t(t+1)^2} これを左辺と比較して、a+b=12 , 2a+c=8 , a=4 連立して解くと、a=4 , b=8 , c=0 したがって、{12t^2+8t+4}/{t(t+1)^2} = 4/t + 8t/(t+1)^2 以上から、 f(x)= t^3-2t^2+5t-8 +{12t^2+8t+4}/{t^3+2t^2+t} = t^3-2t^2+5t-8 +4/t + 8t/(t+1)^2 = t^3-2t^2+5t-8 +4/t + (8t+8-8)/(t+1)^2 = t^3-2t^2+5t-8 +4/t + (8t+8)/(t+1)^2 -8/(t+1)^2 = t^3-2t^2+5t-8 +4/t + 8/(t+1) -8/(t+1)^2 =(e^(3x))-2(e^(2x))+5(e^x)-8 +4e^(-x) +8/(e^x+1) -8/(e^x+1)^2 これを積分する。 I=∫{(e^(3x))-2(e^(2x))+5(e^x)-8 +4e^(-x) +8/(e^x+1) -8/(e^x+1)^2}dx =(1/3)e^(3x)-2(1/2)(e^(2x))+5(e^x)-8x-4e^(-x)+ 8* ∫{1/(e^x+1) -1/(e^x+1)^2}dx ここで、e^x+1=t と置くと、e^x=t-1 また、 e^x dx=dt ∫{1/(e^x+1) -1/(e^x+1)^2}dx =∫[{(e^x+1)-1}/(e^x+1)^2]dx =∫[(e^x)/(e^x+1)^2]dx =∫[1/(e^x+1)^2]*(e^x)dx =∫[1/t^2] dt =-1/t +K =-e^(-x) +K (K は積分定数) となるから、 I =(1/3)e^(3x)-2(1/2)(e^(2x))+5(e^x)-8x -4e^(-x) +8*(-e^(-x)) +C =(1/3)e^(3x)- (e^(2x))+5(e^x)-8x +4e^(-x) +C (ただし C は積分定数) 計算違いがあるかもしれませんので、確認してください。
補足
申し訳ありません。 次の点を教えてもらえますか。 何故、{{12t^2+8t+4}/{t(t+1)^2} = a/t + (bt+c)/(t+1)^2} となるのでしょうか。
- chukanshi
- ベストアンサー率43% (186/425)
(1)問題の式がよくわかりません。 (2)これは、ちょっとテクニックがいるのでヒント。 e^(-x^3)=1*e^(-x^3)とみて、f=e^(-x^3),g'=1とおいて 部分積分する。[fg]は0になるし、のこりは (3x^3)*e^(-x^3)の積分になるので、変数変換(x^3=tとでも置いて)で t^(1/3)e^(-t)dtの積分になるから、あとは数学の公式集をみるしかなくて っていうか、ガンマ関数の定義の式にぴったりはまるので、 答えは、Γ(4/3)=1/3*Γ(1/3)。Γ(x)は、ガンマ関数。 Γ関数は自分で勉強してね。 (3)この重積分は、教科書をみて地道に解きましょう。 (っていうか、本当は疲れた。) (2)だけ自信あり。
関連するQ&A
- 重積分
次の重積分について、問題を解いてください。 R>0として、領域D,D_+,D_- が D = {(x,y)|0≦x≦R,0≦y≦R} D_+ = {(x,y)|x^2+y^2≦2R^2,x≧0,y≧0} D_- = {(x,y)|x^2+y^2≦R^2,x≧0,y≧0} で 与えられるとき、以下の問いに答えよ。ただし、aは正の定数である。 (1) 2重積分∮∮D e^{-a(x^2+y^2)}dxdy,∮∮D_+ e^{-a(x^2+y^2)}dxdy,∮∮D_- e^{-a(x^2+y^2)}dxdyの大小関係を示しなさい。 (2) 2重積分 ,∮∮D_- e^{-a(x^2+y^2)}dxdyを計算しなさい。 (3) (2)の結果をR→∞としたときの極限値を求めよ。 (4) 定積分∮(0→∞) e^(-ax^2) dx = (1/2)√(π/a) を証明せよ。 途中式もお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 微分積分がわかりません
(1)不定積分∫(3x^2+x)/(x^3+x^2+x+1) dx (2)定積分 ∫0→π sin^3xcos^2x dx (3)重積分 ∬(x+y)dxdy D={(x,y)|y^2≦x≦y} わかりません。わかる方、教えてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 2重積分の問題教えてください!
Dを()内の不等式で表される領域とするとき、次の2重積分の値を求めよ。(領域Dも図示せよ。) ∫∫[ ,D]sin(2x+y)dxdy (0≦x≦π/2, x≦y≦2x) 2重積分の問題なのですがなかなか答えにたどり着けずにいます。誰か教えていただけないでしょうか? ∫∫[ ,D]sin(2x+y)dxdy =∫[π/2,0]{∫[2x,x]sin(2x+y)dy}dx ここからが進みません。宜しくお願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 積分の問題
以下の二問についてどなたかご教授お願いします。 積分領域Dを{(x,y) | 0≦x≦1, 0≦y≦x}とし f(x,y)= y^2*e^(- x^2) とするとき、 問題1 ∫D f(x,y)dxdy を求めよ。 問題2 また曲線 y=x^2上の f(x,y)の最大値と最小値を求めよ。 問題1についてはただ単に重積分の計算をして解けばよいのでしょうか。結果として(1-2/e)/6 という値が出ましたが、どうも自信がありません。 また問題2については、方針もわからない状態です。 曲線上という事なのでf(x,y)の y にx^2を代入し、 計算すればよいのでしょうか? 計算量が多くご面倒かと思いますが、最終的な値を算出していただければありがたいです。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 媒介変数表示の2重積分の問題です
媒介変数表示の2重積分の問題です 曲線C x=θ+sinθ y=1+cosθ (-π≦θ≦π) Cとx軸で囲まれる領域をDとすると 面積 ∬D dxdy についてです。 式がサイクロイドと似てたので、dy/dxをθで書き直したりしましたが、解答には結びつきませんでした・・。 これはまずyをxの関数としてあらわす必要があるのでしょうか? その計算もちょっとできないままなのですが・・。どうかそれも含めてご教示お願いします・・。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 広義積分について
大学の微分積分のテストが追試になってしまい勉強中なのですが、広義積分が良くわからなくって困ってます。どなたかコツみたいなものを教えていただけないでしょうか?(正方形領域や円領域に簡単に近似できるものはわかります。) 例えば、次のような問題がよくわかりません。 ・∬e^(y/x) dxdy D={(x,y)|0<x≦1,0≦y≦x^2} ・f(x,y)=2(x-y)/(x+y+a)^3,(a>0)に対して次の値を求めよ。 ∫dx∫f(x,y)dy , ∫dy∫f(x,y)dx (積分範囲はすべて0~∞) どなたか解き方のヒントでもいいのでください。よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
補足
ガンマ関数の定義を教えてもらえませんか?