微分・積分について

質問

x^2+y^2+z^2=1のとき、xy+yz+zxの極値を求める方法を教えてください。

回答No.6

bigman

Ｒを実数全体の集合としＤをＲ＾３の連結な開集合とする

連結：開集合が共通点を持たない２つの開集合に分割できないとき前記開集合は連結されているという

極小値の定義：
ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）とｇ（ｘ，ｙ，ｚ）はＤで定義されたＣ＾１級の実数値関数であり
（ｘ０，ｙ０，ｚ０）∈Ｄであり
Ｕ（ｘ０，ｙ０，ｚ０）⊂Ｄは（ｘ０，ｙ０，ｚ０）の近傍であり
ｇ（ｘ０，ｙ０，ｚ０）＝０であり
（ｘ，ｙ，ｚ）∈Ｕ（ｘ０，ｙ０，ｚ０）かつｇ（ｘ，ｙ，ｚ）＝０である限り
ｆ（ｘ０，ｙ０，ｚ０）≦ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）であるＵ（ｘ０，ｙ０，ｚ０）が存在するとき
ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）は（ｘ，ｙ，ｚ）＝（ｘ０，ｙ０，ｚ０）においてｇ（ｘ，ｙ，ｚ）＝０という付帯条件の下で極小値をとるという

極大値の定義：
ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）とｇ（ｘ，ｙ，ｚ）はＤで定義されたＣ＾１級の実数値関数であり
（ｘ０，ｙ０，ｚ０）∈Ｄであり
Ｕ（ｘ０，ｙ０，ｚ０）⊂Ｄは（ｘ０，ｙ０，ｚ０）の近傍であり
ｇ（ｘ０，ｙ０，ｚ０）＝０であり
（ｘ，ｙ，ｚ）∈Ｕ（ｘ０，ｙ０，ｚ０）かつｇ（ｘ，ｙ，ｚ）＝０である限り
ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）≦ｆ（ｘ０，ｙ０，ｚ０）であるＵ（ｘ０，ｙ０，ｚ０）が存在するとき
ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）は（ｘ，ｙ，ｚ）＝（ｘ０，ｙ０，ｚ０）においてｇ（ｘ，ｙ，ｚ）＝０という付帯条件の下で極大値をとるという

ラグランジュの乗数法：
ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）とｇ（ｘ，ｙ，ｚ）はＤで定義されたＣ＾１級の実数値関数であり
∂ｇ（ｘ，ｙ，ｚ）／∂ｘ，∂ｇ（ｘ，ｙ，ｚ）／∂ｙ，∂ｇ（ｘ，ｙ，ｚ）／∂ｚが同時に０である（ｘ，ｙ，ｚ）∈Ｄが存在しないとする
ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）が（ｘ，ｙ，ｚ）＝（ｘ０，ｙ０，ｚ０）においてｇ（ｘ，ｙ，ｚ）＝０という付帯条件の下で極大値または極小値をとるならば
∂ｆ（ｘ０，ｙ０，ｚ０）／∂ｘ－λ・∂ｇ（ｘ０，ｙ０，ｚ０）／∂ｘ＝０かつ
∂ｆ（ｘ０，ｙ０，ｚ０）／∂ｙ－λ・∂ｇ（ｘ０，ｙ０，ｚ０）／∂ｙ＝０かつ
∂ｆ（ｘ０，ｙ０，ｚ０）／∂ｚ－λ・∂ｇ（ｘ０，ｙ０，ｚ０）／∂ｚ＝０
である実数λが存在する

すなわちラグランジュの乗数法におけるλの存在はあくまでもｆが極値を取るための必要条件であり十分条件でない

従って極値を求める手順として有力な手順を示すと
（１）
ラグランジュの乗数法でｆの極値の候補をすべて求める
（２）
その候補が本当に極値であるかどうかを吟味する

前記手順において十分条件を満たすかどうかを確認するＮｏ．１とＮｏ．３の前半の議論が利用される
従って決して取り下げてはならない