微分・積分について

質問

x^2+y^2+z^2=1のとき、xy+yz+zxの極値を求める方法を教えてください。

回答No.7

starflora

ヴェクトルの回転とか考えていたのですが、一般的問題はともかく、この問題では、そんな複雑な話は無用だという結論に達しました。従って、この問題を解くのに、必要以上に複雑な考え方は、間違いではないとしても、適切でないことになります。

　　x^2+y^2+z^2=1　というのは、三次元の球の式で、半径が１です。

　　他方、xy+yz+zx　は、ヴェクトル(x,y,z)と(y,z,x)の内積だと考えられます。この二つのヴェクトルＡ＝(x,y,z)とＢ＝(y,z,x)　共に、原点から球上の一点へと向かう単位ヴェクトルです。

　　f＝xy+yz+zx＝Ａ・Ｂ　は、ＡとＢが、球面上の一点で定義されている単位ヴェクトルであることからすると、最大値は、１であることは明白です。また、ｘ，ｙ，ｚもｆも連続量であることを考えると、これが極値であることも明白です。

　　ＡとＢのような条件の与えられた二つのヴェクトルの内積が１になるというのは、ＡとＢが同じヴェクトルの場合以外にありえません。（違うヴェクトルだと、内積は１より小さくなることは自明だからです）すると、x=y, y=z, z=x となります。つまり、x=y=z です。(x,y,z) が半径１の球面を定義する場合、明らかに、x^2+y^2+z^2＝3x^2＝1　で、x=+/-(√3)/3=y=z

　　これで回答になります。（微分などは使っていませんが、連続量関数の連続変化で、最大値がある場合は、これが極値であるということを使っています）。

　　回答は、最大極値は x=y=z=+/-(√3)/3

　　他方、最小極致は、(x+y+z)^2-1＝２ｆ　から、
　　ｆが最小になるのは、明らかに、x+y+z=0 の場合で、この時　ｆ＝－１／２
　　この値がｆの極小値ということも、ｆが連続量で、x,x z も連続量であることから自明。

　　中間の極値があるかないかは、(x+y+z)^2 の全微分を取ると、
　　2(x+y+z)(dx+dz+dy) となり、これがゼロになるのは、すでに述べた、極大値と極小値のケースで、それ以外に全微分がゼロになるケースはないので、極値は以上に述べた極大値と極小値のみ（つまり、(x+y+z)＝０か、(dx+dz+dy)＝０で、後者は、dx=dy=dz=0 で、こうなるのは、x=y=z の場合だけ。ここまで考えてしまうと、すでに出ている答えと同じことになってしまいますが。……(dx+dz+dy)＝０というのは、増分の係数次第で、-dx などもありえるが、すでに係数をまとめて外しているので、増分の合計ゼロとは、増分がゼロのことで、x,y,z,は、球面上の点という束縛はあっても自由な変数であるので、その増分が同じ値＝ゼロになるのは、三変数が独立変数でなく、増分も同じ、即ち、x=y=z となるのです。……厳密性に欠けるし、少しも簡単でないですね）。