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正三角形の面積の最小値
mister_moonlightの回答
- mister_moonlight
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他に、もっと簡単な方法があるかもしれませんが、一応一般的と思われる方法で。。。。。 ∠Ａ＝π/6、∠Ｂ＝∠Ｒ、∠Ｃ＝π/3とする。 辺ＡＢ、ＢＣ、ＣＡ上に各々点Ｐ、Ｑ、Ｒをとり、ＰＱ＝ＱＲ＝ＲＰ＝x、∠ＰＱＢ＝θ (0＜θ＜2π/3)とする。 △ＡＰＲに正弦定理を用いると、∠ＡＰＲ＝θ＋π/6より、x/sin(π/6)＝ＡＲ/sin(θ＋π/6)であるから、ＡＲ＝2x*sin(θ＋π/6) ‥‥(1) △ＣＱＲに正弦定理を用いると、∠ＣＱＲ＝2π/3-θより、x/sin(π/3)＝ＣＲ/sin(2π/3-θ)であるから、ＣＲ＝{2x*sin(2π/3-θ)}/√3 ‥‥(2) ＡＲ＋ＣＲ＝2であるから、これに(1)と(2)を代入して整理すると、x＝√3/(sinθ+√3cosθ)となる。 従って、これの分母の最大値を求めると良い。 sinθ+√3cosθ＝2sin(θ＋π/3)‥‥(3) π/3＜θ＋π/3＜πより、θ＋π/3＝π/2 即ちθ＝π/6 の時に(3)が最大になる。 以上から、xの最小値は√3/2. ＃ 計算のチェックをお願いします。
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