正五角形の対角線でできる小さな正五角形の面積は？

質問

一辺が長さ１の正五角形がある。
対角線を5本引くと、その内部に小さな正五角形ができます。
元の正五角形と内部にできる正五角形の面積の比を求めよ。

同じく正17角形の場合はどうなるか？

3時間考えても回答にいたりませんでした。
ヒントでも正解でもよいので、教えてください。よろしくお願いします。

回答No.3

staratras · ベストアンサー

正17角形の場合を考えてみました。　なお計算の便宜上半径１の単位円に内接する正17角形を考えます。

正17角形には119本(17×14/2)の対角線が存在しますが、中央部に小さな正17角形を形成するのに関わるのは、この中で最長の17本だけです。下の図で三角形PQRを色分けしたように、外側の大きな正17角形の１辺と合わせて考えると、底辺が正17角形の1辺で頂角がπ/17の二等辺三角形が17個組み合わされて、小さな正17角形を構成します。

ここで中心部の小さな正17角形の内部にも同様に小さな正17角形の１辺を底辺とし頂角がπ/17の二等辺三角形STUを作ることができます。ここで大小二つの正17角形の相似比はこの大小二つの二等辺三角形の相似比に等しいことは明かなので、この二等辺三角形の高さの比を考えます。Pから底辺QRに垂線PHを、またSから底辺TUに垂線SH'をそれぞれ下ろします。

三角形PQRにおけるPH=1+cos(π/17) またPQ=2cos(π/34) より　PH'=cos(π/34)
SH'=PH'tan(π/17)=cos(π/34)tan(π/17)

したがって大小の正17角形の相似比は　
1+cos(π/17)：cos(π/34)tan(π/17)

面積比はこの２乗だから
(1+cos(π/17))^2：(cos(π/34)tan(π/17))^2

なお数値計算しておおまかにいうと相似比が約10.65倍、面積比が約113.5倍です。

お礼

ご丁寧な回答ありがとうございます。

説明を100％理解するにいたっていませんが、
π/17という角度の三角比をどうやって求めるのか？
電卓で数値計算するしかないのでしょうか
説明をプリントアウトして、考えてみます。ちょっと時間をください。

補足

考え方は良くわかりました。
ありがとうございました。

回答No.5

Tacosan

てきとうに書き並べます.

まず #1 の「辺の長さの比」については, 2つの二等辺三角形が相似になることを使って方程式を立てれば出せます. 黄金比かなんかが出るはず.

あと sin π/17 とか cos π/17 は数値計算するしかないです. まあ都合がいい数字なので √ が使える電卓だけで (手間さえかければ) 計算できますが.

お礼

補足ありがとうございました。
やはり数値計算しかないんですね・・・

回答No.4

staratras

No.3です。回答に付けた図の中央部が見づらいので拡大図を改めて添付します。
Oは単位円の中心です。

お礼

ありがとうございました。

補足

詳細図ありがとうございます。
外接円の中心Ｏを通る線は、ＴＵと平行？
ＯＳ＝ＯＨはなんとなく解るような・・・

もうちょっと考えさせてください。

回答No.2

shuu_01

正五角形、正六角形なら内部に１つしかできないけど、それ以上なら大小の正○角形できるよね

お礼

回答ありがとうございます。
17角形でも内部に17角形できるのでしょうか？

回答No.1

Tacosan

正五角形の場合だけ:
「1辺の長さ」と「対角線の長さ」の比を求めてください. その絵のちょうどど真ん中にある「頂角 36度」の大きな二等辺三角形 (とその中にある対角線) を使うのがお約束の手法です.

お礼

回答ありがとうございます。
36度はわかります、低角は（180-36）/2＝72度
辺の比は？？